Suponga que f(x) = x ^ 3 1 con x ϵ [ - 2, 2], encuentre un numero ξ tal que f(ξ) = f ̅ [a, b]?

Para encontrar un valor ξ tal que f(ξ) = f ̅ [a, b] a partir de la ecuación f(x) = x ^ 3 + 1 con x ϵ [ - 2, 2], se emplea el Teorema del valor medio de la siguiente manera : Si tenemos una función f(x) continua en el intervalo cerrado [a, b] (tiene que ser continua en x = a y x = b) y derivable en el intervalo abierto (a, b) (no tiene por qué ser derivable ni en x = a ni en x = b), entonces, existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a, b), tal que en ese punto se verifica : f'(c) = \ frac{f(b) - f(a)}{b - a}Entonces se tiene que cumplir ciertas condiciones para poder aplicar este teorema : Condicionesf continua en [a, b]f derivable en (a, b) → Э c ∈ (a, b) / f'(c) = \ frac{f(b) - f(a)}{b - a} f(a)≠f(b)Se tiene la función : f(x) = x ^ 3 1 con x ϵ [ - 2, 2], En primer lugar, debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio.

Debemos comprobar si la ecuación es continua en [ - 2, 2] y derivable en ( - 2, 2)ContinuaLa función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [ - 2, 2].

Es derivable : La función es derivable en ( - 2, 2) si su derivada es continua en ese intervalo.

La derivada de la función es : f'(x) = 3x ^ 2Es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es derivable.

Es continua en [ - 2, 2] y derivable en ( - 2, 2), por tanto, existe un valor de c en ese intervalo tal que : f'(c) = \ frac{f(b) - f(a)}{b - a}Ahora se procede a determinar el valor c : f(x) = x ^ 3 + 1 f( - 2) = ( - 2) ^ 3 + 1 = - 7

f(2) = (2) ^ 3 + 1 = 9

f'(c) = \ frac{f(2) - f( - 2)}{2 - ( - 2)} = \ frac{16}{4} = 4Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x) : f'(x) = 3x ^ 2Sustituyendo la x por la c : f'(c) = 3c ^ 2Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo : 3c ^ 2 = 4c ^ 2 = 4 / 3c = \ sqrt{4 / 3} = \ frac{2}{ \ sqrt{3} } = \ frac{2 \ sqrt{3} }{3}Y este es el numero c = \ frac{2 \ sqrt{3} }{3} tal que f(c) = f̅[0, 2].