Suponga que f(x) = x ^ 2 con x ϵ [0, 2], encuentre un numero ξ tal que f(ξ) = f̅[a, b]?

Teorema del valor medioNo especificas si esto es lo que quiere pero dado la estructura del enunciado se puede inferir.

El teorema del valor medio dice así :

Si tenemos una función f(x) continua en el intervalo cerrado [a, b] (tiene que ser continua en x = a y x = b) y derivable en el intervalo abierto (a, b) (no tiene por qué ser derivable ni en x = a ni en x = b), entonces, existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a, b), tal que en ese punto se verifica : f'(c) = \ frac{f(b) - f(a)}{b - a}Entonces se tiene que cumplir ciertas condiciones para poder aplicar este teorema : Condicionesf continua en [a, b]f derivable en (a, b) → Э c ∈ (a, b) / f'(c) = \ frac{f(b) - f(a)}{b - a}f(a)≠f(b)Se tiene la siguiente funciónf(x) = x ^ 2 con x ϵ [0, 2], En primer lugar, debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio.

Debemos comprobar si la ecuación es continua en [0, 2] y derivable en (0, 2)ContinuaLa función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [0, 2].

Es derivable : La función es derivable en (0, 2) si su derivada es continua en ese intervalo.

La derivada de la función es : f'(x) = 2xQue es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es derivable.

Es continua en [0, 2] y derivable en (0, 2), por tanto, existe un valor de c en ese intervalo tal que : f'(c) = \ frac{f(b) - f(a)}{b - a}Ahora se procede a determinar el valor c : f(0) = (0) ^ 2 = 0f(2) = (2) ^ 2 = 4f'(c) = \ frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = f'(c) = \ frac{4}{4} = 1Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x) : f'(x) = 2xSustituyendo la x por la c : f'(c) = 2cIgualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo : 2c = 1c = 1 / 2Y este es el numero c tal que f(c) = f̅[0, 2].