Sabiendo que la velocidad de la luz es de 300, 000 km / s, existen laboratorios dedicados a la investigación en Física de partículas, mismas que se encuentran en todo el universo.
Algunos investigadores intentan calcular qué tanto se puede acelerar una partícula y de esta manera acercarnos a saber si los objetos pueden viajar a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, al estudiar en específico, el caso de una partícula cuya aceleración está dado por f''(x) = 3x² - 10x + 14, se obtienen los siguientes resultados : 1.
A) Nos dicen que la aceleración de la partícula es f''(x) = 3x² - 10x + 14.
Para conocer la función velocidad, integramos esta función : V = f'(x) = ∫f''(x) = ∫3x² - 10x + 14∫f''(x) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5C%20%7B3x%5E%7B2%7D%7D%5C%2C%20dx-%5Cint%5C%20%7B10x%7D%20%5C%2C%20dx%20%2B%5Cint%5C%20%7B14%7D%20%5C%2C%20dx" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3Dx%5E%7B3%7D-5x%5E%7B2%7D%2B14x%2BC" />Donde C = constanteComo nos dicen que la velocidad en t = 0 es 0 m / s, entonces : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%280%29%3D%280%29%5E%7B3%7D-5%280%29%5E%7B2%7D%2B14%280%29%2BC%3D0" /> ⇔ C = 0Luego la función velocidad es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3Dx%5E%7B3%7D-5x%5E%7B2%7D%2B14x" />1.
B) Para calcular la función posición, integramos la función de velocidad, esto es : f(x) = ∫f'(x) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5C%20%7Bx%5E%7B3%7D-5x%5E%7B2%7D%2B14x%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%5Cint%5C%20%7Bx%5E%7B3%7D%7D%20%5C%2C%20dx-%5Cint%5C%20%7B5x%5E%7B2%7D%7D%20%5C%2C%20dx%2B%5Cint%5C%20%7B14x%7D%20%5C%2C%20dx%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7B4%7D%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B5x%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20%2B7x%5E%7B2%7D%2BC" />Como la función de posición toma el valor de 2 cuando t = 0, luego : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%280%29%3D%5Cfrac%7B%280%29%5E%7B4%7D%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B5%280%29%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20%2B7%280%29%5E%7B2%7D%2BC%3D2" /> ⇔ C = 2Luego, la función posición queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7B4%7D%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B5x%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20%2B7x%5E%7B2%7D%2B2" />1.
C) Para calcular cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [3, 6], debemos efectuar la diferencia entre los valores de la función posición en esos dos puntos : f(6) - f(3)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%286%29%3D%5Cfrac%7B%286%29%5E%7B4%7D%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B5%286%29%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20%2B7%286%29%5E%7B2%7D%2B2" />f(6) = 218<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%283%29%3D%5Cfrac%7B%283%29%5E%7B4%7D%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B5%283%29%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20%2B7%283%29%5E%7B2%7D%2B2" />f(3) = 40.
25El recorrido de la partícula fue : f(6) - f(3) = 218 - 40.
25 = 177.
751. d) Para calcular los puntos máximos y mínimos de la función de posición, debemos conseguir aquellos puntos en los que la derivada de la función posición se hace cero, esto es, los puntos en los que el valor de la velocidad es cero : f'(x) = 0 ⇔ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B3%7D-5x%5E%7B2%7D%2B14x%3D0" />Las raíces de esta ecuación son : [img = 10][img = 11][img = 12]Luego, sabemos que X3 = 0 es un punto de posición mínima, ya que desde ese momento parte la partícula en la posición 2.
Además, vemos que los otros dos puntos en los que la derivada de la función posición se hace cero son imaginarios, por lo tanto no se tomarán en cuenta para la solución.
Así, la función posición toma valor mínimo en t = 0 y no toma valores máximos.
1. e) La razón de cambio promedio de la función posición en un intervalo de tiempo se determina de la siguiente manera : [img = 13]Siendo : x2 = tiempo final del intervaloX1 = tiempo inicial del intervaloLuego, calculando razón de cambio promedio en [2, 4] : x1 = 2x2 = 4[img = 14][img = 15]Por lo tanto : [img = 16]Calculando razón de cambio promedio en [5, 6] : x1 = 5x2 = 6[img = 17][img = 18]Por lo tanto, la razón de cambio promedio en este intervalo es : [img = 19]2.
A) Lo que nos indica la diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio en los intervalos de interés es que en el intervalo [5, 6] la función posición está aumentando más rápido que en el intervalo [2, 4], lo que a su vez nos dice que la partícula está recorriendo cada vez más distancia en la misma cantidad de tiempo, es decir, la partícula está acelerada.
2. b) Imaginando que, en lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula, estuviéramos calculando ingresos, la utilidad que tendría el cálculo de la razón de cambio promedio en el contexto de un negocio familiar es que nos dice si estamos aumentando o disminuyendo la cantidad de ingresos con el tiempo.
En un negocio familiar, un resultado parecido al que obtuvimos acá implicaría que se están produciendo más ingresos en la misma cantidad de tiempo, lo cual es positivo.