Un solido se forma juntando dos emisferios a los extremos de un cilindro circular recto y con emisferios nos referimos a cada una de las dos mitades de una esfera . El volumen total del solido es de 14cm. Encuentra el radio que produce el área superficial minima.
Pregunta de Estadística y Cálculo · 1 respuesta · 4 votos · mejor respuesta de Ttgafitam
En resumen
El área superficial del sólido es la suma de las áreas del cilindro circular recto y la esfera de los extremos. Ella se minimiza cuando el radio es igual a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B21%7D%7B4%5Cpi%7D%20%7D" /> cm.
El área superficial del sólido es la suma de las áreas del cilindro circular recto y la esfera de los extremos.
Ella se minimiza cuando el radio es igual a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B21%7D%7B4%5Cpi%7D%20%7D" /> cm.
Explicación paso a paso :
La función objetivo es el área superficial del sólido.
Si llamamos h la altura de la porción cilíndrica y r el radio de esta porción y de la esfera ; la función objetivo viene dada por :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D2%5Cpi%20rh%2B4%5Cpi%20r%5E%7B2%7D" />
Lo conveniente es que el área este expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%5Cpi%20r%5E%7B2%7Dh%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E%7B3%7D%3D14" /> de aqui <img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Cfrac%7B14-%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E%7B3%7D%7D%7B%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%7D" /> por tanto la función objetivo es
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%5Cfrac%7B28%7D%7Br%7D%20%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r%5E%7B2%7D" />
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función.
Esto es derivar la función e igualar a cero.
Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%3D-%5Cfrac%7B28%7D%7Br%5E%7B2%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r" />
A' = 0 ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B28%7D%7Br%5E%7B2%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r%3D0" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=-28%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%5Cpir%5E%7B3%7D%3D0" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B21%7D%7B4%5Cpi%7D%20%7D" /> Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%27%3D%5Cfrac%7B56%7D%7Br%5E%7B3%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%5Cpi" />
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
[img = 10]0" alt = "A''_{ \ sqrt[3]{ \ frac{21}{4 \ pi} }}>0" align = "absmiddle" class = "latex - formula"> ⇒ [img = 11] es un mínimo de la función A.
El área superficial del sólido es la suma de las áreas del cilindro circular recto y la esfera de los extremos. Ella se minimiza cuando el radio es igual a <img src="https://tex.z-dn.net/?
Respuesta. La función objetivo es la siguiente : V = π * r² * h Para que sea máxima se deriva : V' = 2π * r * h - π * r² Se iguala a cero y se tiene que : 0 = 2π * r * h - π * r²π * r² = 2π * r * hr = 2h Se tiene que el…
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