Un solido se forma juntando dos emisferios a los extremos de un cilindro circular recto y con emisferios nos referimos a cada una de las dos mitades de una esfera . El volumen total del solido es de 14cm. Encuentra el radio que produce el área superficial minima.
En resumen
El área superficial del sólido es la suma de las áreas del cilindro circular recto y la esfera de los extremos. Ella se minimiza cuando el radio es igual a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B21%7D%7B4%5Cpi%7D%20%7D" /> cm.
El área superficial del sólido es la suma de las áreas del cilindro circular recto y la esfera de los extremos.
Ella se minimiza cuando el radio es igual a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B21%7D%7B4%5Cpi%7D%20%7D" /> cm.
Explicación paso a paso :
La función objetivo es el área superficial del sólido.
Si llamamos h la altura de la porción cilíndrica y r el radio de esta porción y de la esfera ; la función objetivo viene dada por :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D2%5Cpi%20rh%2B4%5Cpi%20r%5E%7B2%7D" />
Lo conveniente es que el área este expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%5Cpi%20r%5E%7B2%7Dh%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E%7B3%7D%3D14" /> de aqui <img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Cfrac%7B14-%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E%7B3%7D%7D%7B%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%7D" /> por tanto la función objetivo es
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%5Cfrac%7B28%7D%7Br%7D%20%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r%5E%7B2%7D" />
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función.
Esto es derivar la función e igualar a cero.
Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%3D-%5Cfrac%7B28%7D%7Br%5E%7B2%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r" />
A' = 0 ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B28%7D%7Br%5E%7B2%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r%3D0" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=-28%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%5Cpir%5E%7B3%7D%3D0" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B21%7D%7B4%5Cpi%7D%20%7D" /> Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%27%3D%5Cfrac%7B56%7D%7Br%5E%7B3%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D%20%5Cpi" />
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
[img = 10]0" alt = "A''_{ \ sqrt[3]{ \ frac{21}{4 \ pi} }}>0" align = "absmiddle" class = "latex - formula"> ⇒ [img = 11] es un mínimo de la función A.
No ya q la forma no es la misma y no ocupan lo mismo.
Sólo calculas el área del círculo de la base del cilindro y la multiplicas por la altura Saludos!
Respuesta. La función objetivo es la siguiente : V = π * r² * h Para que sea máxima se deriva : V' = 2π * r * h - π * r² Se iguala a cero y se tiene que : 0 = 2π * r * h - π * r²π * r² = 2π * r * hr = 2h Se tiene que el…