Se producirá una lata para jugo en forma de cilindro circular recto con un volumen de 750 cm ^ 3?

Se producirá una lata para jugo en forma de cilindro circular recto con un volumen de 750 cm ^ 3.

Encuentra las dimensiones de la lata de modo que para hacerlas se use la menor cantidad de material.

Hola!

Volumen Cilindro recto : V = Área Base×AlturaV = π×R²×h = 750 cm³Lata cerrada ⇒ 2 Bases ⇒ A.

Base = π×R²A.

Lateral = 2π×R×h

Función Objetivo : F(R, h) = 2 × A.

Base + A.

LateralF(R, h) = 2π×R² + 2π×R×h ( i ) Función.

Objetivo

G(R, h) = π×R²×h = 750 Función Restricción

Derivamos cada Función con respecto a " R " y con respecto a " h " : F(R) = 4π×R + 2π×h ; G(R) = 2π×R×hF(h) = 2π×R G(h) = π×R²

Operadores de Lagrange : ΔF(R, h) = λ×G(R, h) ⇒ F(R) = λ×G(R) ⇒ F(h) = λ×G(h) ⇒ Sustituyo

4π×R + 2π×h = λ×2π×R×h ⇒ ×(R) → 4π×R² + 2π×h×R = λ×2π×R²×h2π×R = λ×π×R² ⇒ ( - 2h) → - 4π×R×h = - λ×2π×R²×h ( + )4π×R² - 2π×R×h = 0 ⇒ Factorizo ⇒

2π×R(2R - h) = 0 ⇒ Teorema Factor nulo : 2π×R = 0 ⇒ R = 0 ×××× No 2×R - h = 0 ⇒ h = R / 2 Si

Sustituimos en la Ecuación Restricción : G(R, h) = π×R²×h = 750 ⇒π×(h / 2)²×h = 750 ⇒π×h² / 4×h = 750 ⇒π×h³ / 4 = 750 ⇒h³ = 750 / π / 4 ⇒h³ = 3000 / π ⇒h = ∛3000 / π ⇒h = 9, 8 cmR = h / 2 ⇒R = 9, 8 / 2 ⇒R = 4, 92 cmFusión Objetivo : Área Mínima : F(R, h) = 2π×R² + 2π×R×h F(R, h) = 2π×(4, 92)² + 2π(4, 93)×(9, 8) = 324 cm² AREA MINIMA

Probamos con otros valores y comparamos para verificar : De la Función Restricción despejamos " h " ⇒ h = 750 / π×R²Si R = 3 ⇒ h = 26, 5 ⇒Área Mínima = 2π×(3)² + 2π(3)×(26, 5) = 527, 8 cm²Si R = 6 ⇒ h = 6, 63Área Mínima = 2π×(6)² + 2π(6)×(6, 63) = 363 cm²Radio ║ Altura ║ Área (cm²)4, 92 ║ 9, 8 ║ 328 3 ║ 26, 5 ║ 527, 5 6 ║ 6, 63 ║ 363

Las medidas que generan el Área Mínima son : R = 4, 92 cm h = 9, 8 cmDejo un archivo adjunto con mas detalles.

Saludos!