Si la ecuación es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28t%29%3DA_%7B0%7De%5E%7Bkt%7D" />
entonces A(t) me dira la cantidad de carbono 14 presente en cualquier momento
yo se que cuando el animal vivia es decir t = 0 yo tenia una cantdad <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_%7B0%7D" /> de carbono 14 y transcurridos 5600 años yo tenia <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BA_%7B0%7D%7D%7B2%7D" /> entonces escribiré ambas ecuaciones con estos datos
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_%7B0%7D%3DA_%7B0%7De%5E%7Bk%280%29%7D%20%5C%5C%20%5Cfrac%7BA_%7B0%7D%7D%7B2%7D%3DA_%7B0%7De%5E%7Bk%285600%29%7D" />
si divido la segunda ecuación entre la primera obtendré
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BA_%7B0%7D%2F2%7D%7BA_%7B0%7D%7D%3D%20%5Cfrac%7BA_%7B0%7De%5E%7Bk%285600%29%7D%7D%7BA_%7B0%7D%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3De%5E%7Bk%285600%29%7D" />
recuerda que todo numero elevado a la potencia 0 (cero) siempre es igual a 1
Ahora solamente despejaremos k de esta ecuación aplicando el logaritmo natural en ambos lados
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20ln%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%3Dln%28e%5E%7Bk%285600%29%7D%29%20%5C%5C%20%5C%5C%20ln%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%20k%285600%29%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5600%7Dln%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%3Dk" />
en calculadora esto es
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=k%3D-1.237762x10%5E%7B-4%7D" />
teniendo el valor de k si sabemos que hemos encontrado 1 / 1000 veces la cantidad que habia en el principio entonces podemos decir que :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1000%7DA_%7B0%7D%3DA_%7B0%7De%5E%7B-1.237762x10%5E%7B-4%7Dt%7D" />
y despejando t y eliminando <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_%7B0%7D" /> de ambos lados de la ecuacion
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=ln%28%5Cfrac%7B1%7D%7B1000%7D%29%3Dln%28e%5E%7B-1.237762x10%5E%7B-4%7Dt%7D%29%20%5C%5C%20%5C%5C%20ln%28%5Cfrac%7B1%7D%7B1000%7D%29%3D%28-1.237762x10%5E%7B-4%7D%29t%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B-1.237762x10%5E%7B-4%7D%7Dln%28%5Cfrac%7B1%7D%7B1000%7D%29%3Dt" />
Hecho en calculadora
[img = 10]
siendo este resultado en años
Saludos.