Problema de encontrar máximos y mínimos2x³ + 9x² + 12x + 24Bien explicado por favor para poder basarme para resolver otros gracias?

Hola : ) ,

Para hallar los máximos y mínimos necesitamos saber derivar , ya que necesitamos los puntos críticos donde la pendiente de la función sea 0 , si la pendiente es 0 implica que hay un punto de inflexión por lo tanto se encuentra un máximo o mínimo en ese punto.

Este método no funciona para todas las funciones va a depender de la diferenciabilidad en el punto , pero los polinimios son funciones sin problemas para eso.

Comencemos :

f(x) = 2x³ + 9x² + 12x + 24

La derivada :

f ' (x) = 6x² + 18x + 12

Ahora buscamos los puntos críticos = > f ' (x) = 0

0 = 6x² + 18x + 12 / : 6

x² + 3x + 2 = 0

(x + 2)(x + 1) = 0

Luego :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D%20%3D%20-%202%20%5C%5C%0Ax_%7B2%7D%20%3D%20-1" />

Estos puntos son candidatos a mínimos o máximos , para determinar cual es utilizamos la segunda derivada, si :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%20%27%20%27%28x_%7Bi%7D%29%20%5C%20%5Ctextless%20%5C%20%200%20%3D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20M%5C%27aximo%20%5C%20en%20%5C%20x_%7Bi%7D%20%5C%5C%0Af%20%27%20%27%28x_%7Bi%7D%29%20%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%200%20%3D%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%20M%5C%27inimo%20%5C%20en%20%5C%20x_%7Bi%7D%20%5C%5C" />

Hallemos la segunda derivada ;

f ' (x) = 6x² + 18x + 12

f''(x) = 12x + 18

Evaluamos los puntos ;

x = - 1

f '' ( - 1) = - 12 + 18

f '' ( - 1) = 6 , el valor es mayor que 0 , por lo tanto,

en x = - 1 hay un mínimo local.

Ahora ,

x = - 2

f '' ( - 2) = - 24 + 18

f '' ( - 2) = - 6 = > menor que 0 , por lo tanto hay un máximo local en x = - 2

Podemos obtener el punto si evaluamos en la función original :

f( - 1) = 2 * ( - 1³) + 9( - 1)² + 12 * - 1 + 24

f( - 1) = - 2 + 9 - 12 + 24

f( - 1) = 19

Hay un mínimo en ( - 1, 19)

f( - 2) = 2 * ( - 2)³ + 9( - 2)² + 12 * - 2 + 24

f( - 2) = 2 * - 8 + 9 * 4

f( - 2) = - 16 + 36

f( - 2) = 20

Hay un máximo en ( - 2, 20).

[ Así hallas máximos o mínimos ] * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Este es un método , otro métodomás intuitivo es observar la pendiente de la función , teníamos que :

f ' (x) = 6x² + 18x + 12

f ' (x) = 6(x + 1)(x + 2)

Observamos los productos y vemos para que valores la pendiente de la función es negativa o positiva - inf - 2 - 1 inf

(x + 1) | - | - | + |

(x + 2) | - | + | + |

f '(x) | + | - | + |

Este cuadro ve el signo de f ' (x) en su dominio , es solo el producto de los signos que tienen los factores en cada intervalo , observa que la pendiente es positiva del intervalo ( - infinito , - 2) y luego la pendiente se vuelve negativa , por lo tanto allí hay un máximo , hay otro cambio de signo de ( - 2, - 1) a ( - 1, inf) , la pendiente era negativa pero después de x = - 1 , la pendiente ahora es positiva que significa eso , que hay un mínimo allí, este método es menos analítico pero espara ver un estudio gráfico de la función.

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Elige el método que quieras , espero haber explicado "bien" si tienes una consulta la pones como comentario y edito algo en la respuesta para completarla ,

saludos : ).