Resolver los siguientes problemas de aplicación de las derivadas. A) Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función : f (x) = (x ^ 2) (x + 1) b) Dado un cilindro de volumen 12m ^ 3, determinar sus dimensiones para que su área total incluyendo las tapas, sea mínima.
En resumen
Para el primer ejercicio, tenemos la siguiente función : f(x) = x²·(x + 1) Procedemos a resolver la distributiva. F(x) = x³ + x² Ahora, tenemos que encontrar máximos, mínimos y punto de inflexión, para ello debemos buscar la primera y segunda derivada.
Para el primer ejercicio, tenemos la siguiente función : f(x) = x²·(x + 1) Procedemos a resolver la distributiva.
F(x) = x³ + x² Ahora, tenemos que encontrar máximos, mínimos y punto de inflexión, para ello debemos buscar la primera y segunda derivada.
F'(x) = 3x² + 2x f''(x) = 6x + 2Igualamos la primera derivada a cero para los máximos y mínimos : 3x² - 2x = 0 x(3x + 2) = 0 Tenemos dos puntos críticos : x = 0 3x + 2 = 0 → x = - 2 / 3Verificamos en la segunda derivada si es máximo o mínimos.
F''(0) = 6·0 + 2 = + 2 → Positivo, es decir, un mínimof''( - 2 / 3) = 6·( - 2 / 3) - 2 = - 6 → Negativo, es decir, un mínimoBuscamos la imagen de cada punto.
F( 0) = 0³ + (0)² = 0 f( - 2 / 3) = ( - 2 / 3)³ + ( - 2 / 3)² = 4 / 27Entonces, nuestros puntos son : MÍNIMO → (0, 0)MÁXIMO → ( - 2 / 3, 4 / 27)El punto de inflexión es cuando la segunda derivada es igual a cero, tenemos que : 6x + 2 = 0 x = - 1 / 3Tenemos un punto de inflexión en - 1 / 3, buscamos la imagenf( - 1 / 3) = ( - 1 / 3)³ + ( - 1 / 3)² = 2 / 27PUNTO DE INFLEXIÓN → ( - 1 / 3, 2 / 27)Adjunto podemos ver la gráfica.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Para el segundo ejercicio tenemos que plantear el volumen y área de un cilindro, tenemos : A = 2π·r·h + 2π·r²V = π·r²·hAhora, sabemos que volumen del mismo, por tanto, podemos despejar una variable, tenemos : 12 = π·r²·hDespejamos a h, tenemos : h = 12 / (π·r²) Ahora, sustituimos esta ecuación en el área, tenemos : A = 2π·r·[12 / (π·r²) ] + 2π·r²Simplificamos y tenemos que : A = 24 / r + 2π·r²Derivamos respecto al radio, tenemos que : dA / dr = - 24 / r² + 4π·r Igualamos a cero, y tenemos que : - 24 / r² + 4π·r = 0 Simplificamos y tenemos que : - 24 + 4π·r³ = 0 Despejamos el valor del radio.
R³ = 24 / 4πr = 1.
24 cmObtenemos la altura : h = 12 / (π·(1.
24)²) h = 2.
48 cm Por tanto, para que el área del cilindro sea mínimo debe tener un radio de 1.
24 cm y una altura de 2.
48 cm.
Datos : V = 12 m³ r / L = 1 / 2 = > L = 2r Para resolver este problema aplicamos la ecuación para el área de un cilindro con tapas, dada por : A = 2π * r * L + 2 * π * r² Derivamos en función de r y se iguala a cero…
Para la función F(x) = 1 / 3x³ - 5x + 2 se tienen en ± 0, 75 las coordenadas son Máximo (0, 75 ; 2, 06) y Mínimo ( - 0, 75 ; 0, 22) con Punto de Inflexión I en X = 075. Sea la función F(x) = 1 / 3x³ - 5x + 2 • Se halla…