Respuesta
1 - Para buscar el radio y el intervalo de convergencia debemos aplicar el criterio de la razón el cual nos indica que : lim(n→∞) |a(n + 1) / an| < 1Teniendo en cuenta este criterio, tenemos la siguiente serie : ∑ n(x + 2)ⁿ / 3ⁿ⁺¹ → Desde n = 1 hasta ∞Sabemos entonces que : an = n(x + 2)ⁿ / 3ⁿ⁺¹a(n + 1) = (n + 1)·(x + 2)ⁿ⁺¹ / (3ⁿ⁺²)Ahora, aplicamos el criterio de la razón que mencionamos al principio.
Lim(n→∞) [(n + 1)·(x + 2)ⁿ⁺¹ / (3ⁿ⁺²)] / [n(x + 2)ⁿ / 3ⁿ⁺¹]Aplicamos la doble C y tenemos que : lim(n→∞) (3ⁿ⁺¹·(n + 1)·(x + 2)ⁿ⁺¹) / (3ⁿ⁺²·n·(x + 2)ⁿ)Ahora, aplicamos propiedades de potencia en los términos que son iguales, tenemos : lim(n→∞) (1 / 3)·(n + 1)(x + 2) / nAplicamos el límite y tenemos que : lim(n→∞) (1 / 3)·(n + 1)(x + 2) / n = (1 / 3)·(x + 2) Ahora, para que la serie puede converger el CRITERIO DE LA RAZÓN, nos indica que debe ser menor que 1 el modulo del limite, entonces : |(1 / 3)x + 2|< 1 |x + 2| < 3 → Condición sin extensión Ahora, debemos aplicar propiedad de modulo, tenemos : - 3 < x + 2 < 3 Sumamos ( - 2) en ambos extremos : - 3 - 2 < x < - 2 + 3 - 5 < x < 1 Nuestra opción correcta es la d, converge para |x + 2| < 3 que equivale al intervalo - 5 < x < 1.
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∑ ( - 1)ⁿ⁺¹·xⁿ / n³ → Desde n = 1 hasta ∞Tenemos entonces : an = ( - 1)ⁿ⁺¹·xⁿ / n³a(n + 1) = ( - 1)ⁿ⁺²·xⁿ⁺¹ / (n + 1)³Aplicamos el criterio de la razón : lim(n→∞) [( - 1)ⁿ⁺²·xⁿ⁺¹ / (n + 1)³] / [( - 1)ⁿ⁺¹·xⁿ / n³]Aplicamos doble C, tenemos : lim(n→∞) n³· ( - 1)ⁿ⁺²·xⁿ⁺¹ / (n + 1)³·( - 1)ⁿ⁺¹·xⁿ Aplicamos propiedades de potencia en los términos que son iguales : lim(n→∞) ( - 1)¹·n³·x / (n + 1)³ Resolvemos el límite y tenemos que : lim(n→∞) ( - 1)¹·n³·x / (n + 1)³ = - xAplicamos el criterio de la razón, en donde la serie diverge si es el modulo del limite es menor a 1, tenemos : | - x| < 1 Sabemos que el modulo elimina al negativo, entonces : |x| < 1 Por tanto, el radio de esta serie es R = 1, la opción correcta es la C.
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2 - Al momento de resolver el limite recordemos que este es cuando n tiende a infinito, por tanto, todo lo que no sea n es una constante y sale del limite.
3 - Estos limites siempre tienen la característica que se pueden resolver por orden mayor, es decir, siempre el númerador y denominador crecen de igual manera, por tanto el limite es la división de los coeficientes de las variables con mayor potencia.
Para verificar se recomienda utilizar L'Hopital.
4 - En caso que sea necesario, repasar propiedades de potencia, ya que son fundamentales para simplificar, antes de resolver el limite, SIEMPRE, hay que simplificar.