Respuesta
Tenemos inicialmente la ecuación diferencial, tal que : Lq''(t) + Rq'(t) + 1 / C q(t) = E(t)Tenemos los valores de L, R y C, que son : C = 4F L = 0.
25 HPara R sabemos que t = 0, posición inicial, entonces : R = (1 + 0 / 8) Ω R = 1 ΩSe sustituyen los valores en la ecuación original : 0.
25q''(t) + 1q'(t) + 1 / 4 q(t) = E(t)Tenemos una ecuación de segundo orden que debemos solucionar, para ello debemos buscar la ecuación característica.
0. 25·m² + m + 1 / 4 = 0 Solucionamos aplicando resolvente y tenemos : m₁ = - 0.
26 m₂ = - 3.
73 Entonces, nuestra ecuación diferencial tiene una solución de la siguiente forma : q(t) = C₁e ^ (m₁t) + C₂e ^ (m₂t)Sustituimos los valores encontrados : q(t) = C₁e ^ ( - 0.
26t) + C₂e ^ ( - 3.
73t)Aplicamos las condiciones iniciales, es decir, q(0) = 2 y tenemos que : q(0) = C₁ + C₂ = 2 Ahora derivamos : q'(t) = - 0.
26C₁e ^ ( - 0.
26t) - 3.
73C₂e ^ ( - 3.
73t)Evaluamos en la condición, es decir, q'(0) = 0q'(0) = - 0.
26C₁ - 3.
73C₂ = 0Con nuestras dos ecuaciones procedemos despejar el valor de las constantes : C₁ = 2 - C₂ - 0.
26(2 - C₂) - 3.
73C₂ = 0 - 0.
52 + 0.
26C₂ - 3.
73C₂ = 0 C₂ = - 0.
15 C₁ = 2.
15Por tanto, nuestra solución será : q(t) = - 0.
15e ^ ( - 0.
26t) + 2.
15e ^ ( - 3.
73t)¿SERIE DE POTENCIA?
Debemos comenzar de la serie de potencia más básica, es decir la f(x) = eˣ, tenemos : eˣ = ∑xⁿ / n!
→ desde n = 0 hasta ∞Partiendo de esto obtenemos la serie de potencia que necesitamos, tenemos : - 0.
15eˣ = - 0.
15·∑xⁿ / n!
- 0. 15e ^ ( - 0.
26x) = - 0.
15·∑( - 0.
26x)ⁿ / n!
Nuestra serie de potencia es entonces : S₁ = - 0.
15·∑( - 0.
26x)ⁿ / n!
Lo mismo se hace para el segundo termino y tenemos : S₂ = 2.
15·∑( - 3.
73x)ⁿ / n!
Nos piden los 5 primeros términos, lo haremos de manera individual, para ello le debemos dar valores a la serie, desde n = 0 hasta n = 4, ya que son los primeros 5 términos.
Primera serie de potencia : S₁ = - 0.
15 - 0.
15·( - 0.
26x)¹ / 1!
- 0. 15·( - 0.
26x)² / 2!
- 0. 15·( - 0.
26x)³ / 3!
- 0. 15·( - 0.
26x)⁴ / 4!
Segunda serie de potencia : S₂ = 2.
15 + 2.
15·( - 3.
73x)¹ / 1!
+ 2. 15·( - 3.
73x)² / 2!
- 2. 15·( - 3.
73x)³ / 3!
- 2. 15·( - 3.
73x)⁴ / 4!
Teniendo de esta manera los 5 primeros términos de la serie de potencia, para simplificar se puede sumar y realizar operaciones, esto se dejara para el usuario.
St = S₁ + S₂NOTA : para obtener la serie de potencia se deben aplicar propiedades básicas de la serie de potencia.