Integral por sustitución el punto 55, espero su ayuda?

Tu ejercicio es el siguiente :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%203t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%7Bt%28t%20%5E%7B2%7D%2B1%20%29%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt" />

Hallar su primitiva.

Bueno antes de eso vamos revisando algunas propiedades que debes saberlas manejar.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BA%2BB%7D%7BCD%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BA%7D%7BCD%7D%2B%20%5Cfrac%7BB%7D%7BCD%7D%20%20" />

si verdad.

Cuando tenemos fracciones homogéneas.

Se aplica ésto verdad.

Listo

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5Eb_a%20%28%7Bf%28x%29%2Bg%28x%29%2Bh%28x%29%2B...%7D%29%20%5C%2C%20dx%20%3D%20%5Cint%5Climits%5Eb_a%20%7Bf%28x%29dx%2B%5Cint%5Climits%5Eb_a%20%7Bg%28x%29dx%2B%5Cint%5Climits%5Eb_a%20%7Bh%28x%29dx%2B..." />

Así que se cumple la propiedad de las integrales de la suma

Además

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5Eb_a%20%7Bkx%7D%20%5C%2C%20dx%20%3Dk%20%5Cint%5Climits%5Eb_a%20%7Bx%7D%20%5C%2C%20dx" />

Donde "k" es una constante.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20%3Dln%28%7Cx%7C%29%2BC" />

Ahora sí resolvamos el ejercicio aplicando todo ésto.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%203t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%7Bt%28t%20%5E%7B2%7D%2B1%20%29%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%3D%5Cint%5Climits%7B%20%28%5Cfrac%7B%203t%5E%7B2%7D%20%7D%7Bt%28t%20%5E%7B2%7D%2B1%20%29%7D%20%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%28t%20%5E%7B2%7D%2B1%20%29%7D%29%20%5C%2C%20dt%3D%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%203t%5E%7B2%7D%20%7D%7Bt%28t%20%5E%7B2%7D%2B1%20%29%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%2B%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B1%20%7D%7Bt%28t%20%5E%7B2%7D%2B1%20%29%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%3D...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20...%3D%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%203t%20%7D%7B%28t%20%5E%7B2%7D%2B1%20%29%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%2B%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%28t%20%5E%7B2%7D%2B1%29%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%3D%203%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%20%2B%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%28t%20%5E%7B2%7D%2B1%29%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt" />

Hasta aquí nada nuevo verdad.

Solo hemos aplicado las propiedades que hemos visto al comienzo.

Ahora vamos a derivar cada una de esas sumas.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%20" />

Aquí podemos integrar por sustitución.

Consideremos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3D%20t%5E%7B2%7D%20%2B1" />

Derivando nos queda

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=du%3D2tdt%20%5C%5C%20dt%3D%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2t%7D%20" />

Entonces nos quedaría así

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%3D3%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B%20u%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20%28%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2t%7D%29%3D3%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20u%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20%28%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2%7D%29%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%20%5Cint%5Climits%20%7B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bu%7D%20%7D%20%5C%2C%20du%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%28ln%28%7Cu%7C%29%29%3D...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20...%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20ln%28%7C%20t%5E%7B2%7D%2B1%20%7C%29" />

Listo.

Alguna duda.

Todavía no aumentamos la constante de integración al final lo haremos.

Ahora integremos la otra integral que dejamos

[img = 10]

Aquí lo que vamos a hacer es resolver usando fracciones parciales.

El segundo caso.

Que nos dice :

"Tienes una fracción con el denominador con factores no lineales y no se repiten.

Entonces realizamos el siguiente procedimiento"

[img = 11]

Es decir vamos a representar esa fracción como la suma de dos fracciones.

(para eso consideramos una ecuación de menor grado al que tengamos en el denominador.

Menor grado de "t" es una constante (A) y menor grado de una cuadrática es una ecuación lineal (Bt + C))ahora realizamos esa suma normalmente

[img = 12]

En definitiva nos queda

[img = 13]

Ahora voy a hacer algo que espero estés de acuerdo

[img = 14]

Ahora te parece como que si multiplicamos en cruz los denominador se simplifican.

Entonces nos quedaría así

[img = 15]

Ahora usamos el álgebra igualando los COEFICIENTES de cada variable con su respectiva variable.

Y nos queda un sistema de ecuaciones.

[img = 16]

Bastante sencillo verdad.

C vale cero entonces solo reemplazamos A en la primera ecuación

[img = 17] entonces nos quedaría así las soluciones

[img = 18]

Con éstos valores volvemos a donde planteamos la ecuación con éstas letras

[img = 19]

Y ahora si integramos ésto

[img = 20]

Esa última integral podemos resolverla por sustitución

consideremos y derivemos

[img = 21]

Ahora reemplacemos

[img = 22]

Ahora juntando todo

[img = 23]

Y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisa.