Halle el centroide de la región acotada por las gráficas de y + x ^ 2 = 6 y y + 2x - 3 = 0 Considere las fórmulas del centroide de la región en el plano ?

Respuesta.

Debemos calcular las integrales, procederemos a calcular la integral de área, tenemos :

A = ∫ₐᵇ f(x) - g(x) dx

Los puntos donde se interceptan son :

x = - 1x = 3

Procedemos a calcular el área.

A = ∫₋₁³ (6 - x²) - ( - 2x + 3) dx

Resolvemos integral y evaluamos, tenemos :

A = x³ / 3 + x² - 9x|₋₁³A = (3)³ / 2 + (3)² - 9(3) - [ - 1³ / 3 + ( - 1)² - 9( - 1)]A = 10.

67

Ahora calculamos a My, tenemos que :

My = ∫₋₁³ x·[(6 - x²) - ( - 2x + 3)] dx My = ∫₋₁³ x³ + 2x² - 9x dx My = x⁴ / 4 + 2x³ / 3 - 9x² / 2|₋₁³

Evaluamos y tenemos que :

My = 3⁴ / 4 + 2(3)³ / 3 - 9(3)² / 2 - [1 / 4 + 2( - 1)³ / 3 - 9( - 1)² / 2]My = 10.

67

Ahora procedemos a calcular a Mx, tenemos :

Mx = ∫ₐᵇ f²(x) - g²(x) dxMx = ∫₋₁³ (6 - x²)² - ( - 2x + 3)² dx

Resolviendo producto notable y simplificando nos queda :

Mx = ∫₋₁³ (x⁴ - 12x² + 36) dx

Resolvemos y evaluamos y tenemos que :

Mx = x⁵ / 5 - 24x³ / 3 + 36x|₋₁³Mx = 3⁵ / 5 - 24(3)³ / 3 + 36(3) - [( - 1)⁵ / 5 - 24( - 1)³ / 3 + 36( - 1)]Mx = 76.

8

Procedemos a calcular el centroide, tenemos :

Cx = My / ACx = 10.

67 / 10.

67Cx = 1

Cy = Mx / ACy = 76.

8 / 10.

67Cy = 7.

19

Por tanto el punto del centroide será C(1, 7.

19). Observemos que el centroide esta fuera de la figura, esto puede suceder.