Encontrar el rango de la función y = [tex] e ^ {x + 2} [ / tex] con respecto a x?

Haber, el propósito de como obtener el recorrido de la funición es definir la función equis en función de ye, entonces, debemos despejar equis, entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%20e%5E%7Bx%2B2%7D%20" />

aplicamos el logaritmo neperiano en ambos lados,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%28y%29%3D%5Cln%28e%5E%7Bx%2B2%7D%20%29" />

por las propieaddes de los logaritmos, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%20x%5E%7Ba%7D%20%3Da%5Cln%28x%29" /> podemos hacer lo siguiente,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%28y%29%3D%28x%2B2%29%5Cln%28e%20%29" />

y sabemos que, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%28e%29%3D1" /> entonces

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%28y%29%3Dx%2B2%20%5C%5C%20x%3D%5Cln%28y%29-2" />

listo, entonces ahora sí, ya tenemos la función equis en función de ye, la restricción que nos arroje ye, será el recorrido, como sabemos no existen logaritmos de número negativo, es decir por ejemplo <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%28-4%29%3D%5Ctextrm%7BNo%20existe%7D%20" />y también sabemos que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln%280%29%3D%5Ctextrm%7Btampoco%20existe%7D%20" />

entonces lo que está dentro del logaritmo TIENE QUE SER POSITIVO O NO PUEDE SER CERO, ES DECIR tiene que ser estirctamente mayor que cero,

entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200" />

y ya, entonces el recorrdio será,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%5Cin%5CRe%5E%7B%2B%7D-%280%29" />.