Determine la longitud de arco de la gráfica [tex]y = 4x ^ {3 / 2} [ / tex] del origen (0, 0) al punto (1, 4) y elabore la respectiva gráfica?

Respuesta :

Para calcular la longitud de arco, se puede aplicar la integración, aplicando la siguiente formula.

L = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5Ea_b%20%7B%20%5Csqrt%7B1%2B%20%28f%27%28x%29%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20" />

Sabiendo que f(x) = 4x³ / ² conseguimos a f'(x) aplicando derivadas.

F'(x) = 4·3 / 2 · X ³ / ² ⁻ ¹ f'(x) = 6√x

Como f'(x) esta en función de la variable x, se tomaran como limite de integración las coordenadas de la variable x.

Aplicando la ecuación de la integral, tenemos : L = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E1_0%20%7B%20%5Csqrt%7B1%2B%286%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%29%5E2%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20" />

Simplificamos : L = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E1_0%20%7B%20%5Csqrt%7B1%2B36x%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20" />

Para resolver esta integral aplicaremos un cambio de variable : 1 + 36x = w²

Diferenciamos ambos lado de la ecuación ( se deriva ambos lados) : 36 dx = 2w dw ∴ dx = 2w / 36 dw

Introducimos el cambio en la integral y resolvemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%20%7B%20%5Csqrt%7Bw%5E2%7D%20%7D%20%5C%2C%20%20%2A%201%2F18%2Awdw%20%3D%201%2F18%20%5Cint%20%7Bw%5E2%7D%20%5C%2C%20dw%20%3D%20%281%2F18%29%2A%28%20w%5E%7B3%7D%20%2F3%29" />

Devolvemos el cambio de variable y tenemos : I = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=I%20%3D%201%2F54%28%20%5Csqrt%7B1%2B36x%7D%29%5E3%20" />

Evaluamos la integral en limite superior menos limite inferior I = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=I%20%3D%201%2F54%28%20%5Csqrt%7B1%2B36%281%29%7D%29%5E3%20%20-%20%201%2F54%28%20%5Csqrt%7B1%2B36%280%29%7D%29%5E3%20%3D%204.15%20u" />

La longitud del arco es de 4.

15 unidades de longitud.