Cuatro matrimonios han comprado ocho localidades en fila para un partido de futbol. ¿ De cuantas maneras distintas se pueden sentar si cada pareja se sienta junta todos los hombres se sientan juntos y todas las mujeres se sientan juntas todos los hombres se sientan juntos las mujeres y los hombres ocupan localidades alternativas ningun hombre se puede sentar junto a otro hombre.
Obtenemos que la cantidad de maneras de sentarse sera : Si cada pareja se sienta junta : 384Si todos los hombres se sientan juntos y todas las mujeres se sientan juntas : 1152Si todos los hombres se sientan juntos : 2880Si las mujeres y los hombres ocupan localidades alternativas : 40320Si ningún hombre se puede sentar junto a otro hombre : 1152Una combinación en combinatoria cuenta la cantidad de maneras en las que se pueden tomar n elementos en grupos de r elementos y su ecuación es : Comb(n, r) = n!
/ ((n - r)!
* r! )Una permutación en combinatoria cuenta la cantidad de maneras en las que se pueden tomar n elementos en grupos de r elementos donde el orden de selección es tomado en cuenta y su ecuación es : Perm(n, r) = n!
/ ((n - r)!
)Si n = rPerm(n, n) = n!
Calculamos de cuantas maneras pueden sentarse : a) si cada pareja se sienta junta : en los dos primeros puestos debe ir una pareja, en los otros dos una pareja, en los siguientes dos una pareja y en los otros 2 una pareja, entonces es la permutación de 4 parejas en 4 : 4!
= 24Además cada pareja se puede sentar primero el hombre y después la mujer o primero la mujer y después el hombre multiplicamos el resultado por 4 permutaciones de 2 en 24!
* 2! * 2!
* 2! * 2!
= 384b) Todos los hombres se sientan juntas y todas las mujeres se sientan juntas.
Si las mujeres se sientan a la derecha y los hombres a la izquierda entonces permutamos las 4 mujeres en 4 puestos y 4 hombres en 4 puestos que sera : 4!
* 4! = 576Ahora multiplicamos por 2 suponiendo que ahora se sientan las mujeres a la izquierda y los hombres a la derecha : 576 * 2 = 1152c) si hombres se sientan juntosEnumeramos los puestos del 1 al 8, Los hombres se sentaran desde el puesto j hasta el puesto j + 3.
Fijando los lugares donde se sientan los hombres debemos permutarlo en estos 4 puestos los 4 hombres y luego las mujeres en el resto de los puestos que seria también una permutación de 4 en 44!
* 4! = 576Luego j puede ser j = 1, 2, 3, 4, 5 por lo tanto tiene 5 opciones, multiplicamos por 5 : 576 * 5 = 2880d) Las mujeres y los hombres ocupan localidades alternativas : Permutamos las 8 personas en los 8 puestos : 8!
= 40320 e) ningún hombre se puede sentar junto a otro hombreSi en el primer puesto hay un hombre entonces ya tenemos que los hombres estarán en los puestos impares y las mujeres en los pares.
Permutamos a los hombres y a las mujeres : 4!
* 4! = 576Luego multiplicamos por 2 suponiendo que ahora en el primer puesto se sienta una mujer.
576 * 2 = 1152.
Respuesta : 40320Explicación : es 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320.
Los hombres deben ir en lugares impares.