Cuantas rectas tangentes a la curva y = x / (x + 1) pasan por el punto (1, 2)?

Hallemos la pendiente (m)de la curvax / (x + 1) en cualquier punto :

Sea :

y = x / (x + 1)

y' = 1 / (x + 1)²

m = 1 / (x + 1)² = 1 / (x² + 2x + 1)

Ecuación de la recta :

y = mx + b

Sean los puntos :

(1, 2) - - - (x, x / (x + 1))

El punto(x, x / (x + 1))simboliza el punto de corte de la gráfica con la recta.

Entonces hallemos b :

2 = 1 / (x + 1)² + b

2(x² + 2x + 1) - 1 / (x + 1)² = b

(2x² + 4x + 1) / (x + 1)² = b

Ecuación de la recta : y = x / (x + 1)² + (2x² + 4x + 1) / (x + 1)²

y = (2x² + 5x + 1) / (x + 1)²

Evaluamos en el punto(x, x / (x + 1))

x / (x + 1) = (2x² + 5x + 1) / (x + 1)²

x = (2x² + 5x + 1) / (x + 1)

x² + x = 2x² + 5x + 1

0 = x² + 4x + 1

Obtenemos una ecuación cuadrática con discriminante mayor a 0, esto indica que el problema tiene 2 soluciones.

Resolviendo :

0 = x² + 4x + 1

(x + 2)² = 3

x = √3 - 2

x = - √3 - 2

Para hallar los puntos, evalúas la función en los puntos obtenidos.