Calcular con cambio de variable la integral[tex] \ int \ limits ^ 1_0 {(1 - x) ^ 3} \ , dx [ / tex]?

Cambio de variable se aplica a integrales donde las funciones a integrar puede escribirse como : (fog)g'.

Es decir, una función f compuesta por otra función g, multiplicada por la derivada primera de la función g.

Sea :

f(x) = x³

g(x) = 1 - x

Por lo tanto f[g(x)] = (fog)(x) = (1 - x)³

g'(x) = - 1

Por lo tanto, a la función a integrar es posible aplicar cambio de variable, de manera de facilitar el calculo de la integral.

Sea la nueva variable u = 1 - x.

Por lo tanto du = - 1

Otra de las cosas a modificar es el intervalo de integración.

Para la variable x, el intervalo es [0, 1]

Para la variable u, el intervalo es[1 - 0, 1 - 1] = [1, 0]

Multiplicando por - 1 para que aparezca la derivada primera de g :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%5E1_0%20%7B%20%281-x%29%5E%7B3%7D%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%20-%5Cint%5Climits%5E1_0%20%7B-%20%281-x%29%5E%7B3%7D%7D%20%5C%2C%20dx" />

Aplicando cambio de variable :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cint%5Climits%5E1_0%20%7B-%20%281-x%29%5E%7B3%7D%7D%20%5C%2C%20dx%3D-%5Cint%5Climits%5E0_1%20%7B%20u%5E%7B3%7D%7D%20%5C%2C%20du" />

Aplicando regla de Barrow :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cint%5Climits%5E0_1%20%7B%20u%5E%7B3%7D%7D%20%5C%2C%20du%20%3D%20%20%20-%28%5Cfrac%7B%280%29%5E%7B4%7D%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B%281%29%5E%7B4%7D%7D%7B4%7D%29%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20" />

Cualquier duda con respecto al procedimiento decime que te lo vuelvo a explicar.