Ayuda con integrales?

Tienes,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B%28%5Ctan%282x%29%2B%5Ccot%282x%29%29%5E%7B2%7D%20%7D%20dx" />

podemos primer hacer una sustitución,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3D2x%20%5C%5C%20du%3D2dx%20%5C%5C%20dx%3D%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2%7D%20" />

entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cint%7B%28%5Ctan%28u%29%2B%5Ccot%28u%29%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%7B%28%5Ctan%28u%29%2B%5Ccot%28u%29%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%20du" />

pero sabemos que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Ctan%28x%29%3D%5Cfrac%7B%5Csin%28x%29%7D%7B%5Ccos%28x%29%7D%20%20%5C%5C%20%5Ccot%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B%5Ccos%28x%29%7D%7B%5Csin%28x%29%7D%20" />

entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%7B%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B%5Csin%28u%29%7D%7B%5Ccos%28u%29%7D%2B%20%5Cfrac%7B%5Ccos%28u%29%7D%7B%5Csin%28u%29%7D%20%20%5Cright%29%5E%7B2%7D%20%7D%20du%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%20%7B%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B%5Csin%5E%7B2%7D%28u%29%2B%5Ccos%5E%7B2%7D%28u%29%20%20%7D%7B%5Csin%28u%29%5Ccos%28u%29%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%20%20%7D%20du" />

pero sabemos que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin%5E%7B2%7D%28x%29%2B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%20%3D1" />

entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%7B%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%28u%29%5Ccos%28u%29%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%20%20%7D%20du%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%7B%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%28u%29%5Ccos%28u%29%7D%5Cright%29%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%28u%29%5Ccos%28u%29%7D%5Cright%29%20%20%7D%20du" />

ahora podemos multiplicar por un número inteligentísimo, si multiplicamos a cualquier cosa por uno, no cambie ¿verdad?

, y estás de acuerdo que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B4%7D%7B4%7D%20%3D1" /> entonces si multiplico por éste valor no pasa nada, bien,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint%7B%20%5Cfrac%7B4%7D%7B4%7D%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%28u%29%5Ccos%28u%29%7D%5Cright%29%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%28u%29%5Ccos%28u%29%7D%5Cright%29%7D%20%3D...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B4%7D%7B2%7D%20%5Cint%7B%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csin%28u%29%5Ccos%28u%29%7D%5Cright%29%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csin%28u%29%5Ccos%28u%29%7D%5Cright%29%7D" />

pero sabemos que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin%282x%29%3D2%5Csin%28x%29%5Ccos%28x%29" />

entonces,

[img = 10]

pero sabemos que,

[img = 11]

equis puede ser cualquier ángulo por supuesto, entonces

[img = 12]

ahora podemos hacer una sustitución, ,

[img = 13]

entonces,

[img = 14]

y esa ya es una integral directa, que es justamente la solución que tienes tu

[img = 15]

ahora solo te queda volver a la variable original.

Te recomiendo que desmuestres esa integral directa no es muy complicada¡.

Demuestrale y ahí si te puedes dar gusto de poner el resultado directo

s.