3. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en x = 1, estas funciones son funciones definidas por partes, tienen dos partes 3x si x ≤ 1F(x) = X + 2 si x…> 1 3x si x ≠ 1G(x) = 1 si x = 1?

Para que una función tenga continuidad en un punto <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3Dx_0" /> tiene que estar la función definida en ese punto y además en ese mismo punto el límite tiene que existir y ser igual al valor de la función.

Es decir, debe cumplirse que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20x_0%7D%20f%28x%29%3Df%28x_0%29" />Para analizar la continuidad de la función F(x) vamos a verificar esta condición, teniendo en cuenta que en funciones definidas por tramos debe cumplirse que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20x_0%5E%2B%7D%20f%28x%29%3D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20x_0%5E-%7D%20f%28x%29%3Df%28x_0%29" />Los primeros dos miembros de esta última expresión son los límites laterales, analizados en un entorno de x0 para elementos del dominio menores que x0 o para elementos mayores que x0.

Este análisis es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%201%2B%7D%20f%28x%29%3D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%201-%7D%20f%28x%29%3Df%281%29%5C%5C%5Clim_%7Bx%20%5Cto%201%2B%7D%20x%2B2%3D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20x_0%5E-%7D%203x%3D3.1%5C%5C1%2B2%3D3.1%3D3.1%5C%5C3%3D3%3D3" />Con lo cual la función es continua en el punto x = 1.

Ahora para la función G(x), tenemos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto1%7D%20f%28x%29%3Df%281%29%5C%5C%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto1%7D%203x%3D1" />La función no cumple la condición de continuidad por lo que la función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 1.