∫_0 ^ ∞▒〖x ^ 2 e ^ ( - x) dx〗?

Resolver : ∫₀⁰⁰ (x²e⁻ˣ dx)Hola!

X²e⁻ˣ Continua en todos los Reales ⇒ x²e⁻ˣ Continua en (0 ; ∞) ⇒Integral Impropia de Primera especie : ∫₀⁰⁰ f(x) dx = lim_b→∞ ∫ₐᵇ f(x) dx

∫₀⁰⁰ x²e⁻ˣ dx = lim_b→∞ ∫₀ᵇ x²e⁻ˣ dxIntegración por partes : ∫u×v' dx = u×v - ∫u'×v dxu = x² ⇒ u' = 2xv' = e⁻ˣ ⇒ v = ∫e⁻ˣ dx = - e⁻ˣ∫₀⁰⁰ x²e⁻ˣ dx = x² - e⁻ˣ - ∫ - e⁻ˣ 2x dx = ( i ) Integración por partes nuevamente con : ∫ - e⁻ˣ 2x dxu = x ⇒ u' = 1dxv' = e⁻ˣ dx = - e⁻ˣ∫ - e⁻ˣ 2x dx = x - e⁻ˣ - ∫ - e⁻ˣ dx = - e⁻ˣ x + ∫e⁻ˣ dx = - e⁻ˣ x - e⁻ˣ = - 2e⁻ˣ

( i ) ∫₀ᵇ x²e⁻ˣ dx = x² - e⁻ˣ - ∫ - e⁻ˣ 2x dx = x² - e⁻ˣ - ∫ - 2e⁻ˣ x dx = - x²e⁻ˣ - ( - 2)∫e⁻ˣ x dx = - e⁻ˣ x² + 2 - 2e⁻ˣ ⇒∫₀⁰⁰ x²e⁻ˣ dx = lim b→∞ ( - e⁻ˣ x² + 2 - 2e⁻ˣ) = - e⁻⁰⁰ x² + 2 - 2e⁻⁰⁰ = e⁻⁰⁰ = 1 / e⁰⁰ = 1 / ∞ = 0 ; e⁰⁰ = ∞1 / e⁰⁰ x² + 2 - 2 / e⁰⁰ = k / ∞ = o k = numero real0 + 2 - 0 = 2 ⇒ ∫₀⁰⁰ (x²e⁻ˣ dx) = 2 RespuestaSaludos!