Te dejo acá la respuesta para elejercicio 3de la prueba de selectividad deMadridconvocatoriaJun 2013 - 2014deFísica :
En
el ejercicio nos dan los siguientes datos :
Ubicación de las cargas puntuales
P1(1, - 1) mm
P2( - 1, - 1) mm
P3( - 1, 1) mm.
P4(1, 1) mm
Carga : 2μC
a) Nos piden encontrar cual es el potencial
eléctrico en el punto (0, 0) mm sabiendo que el campo eléctrico se anula en ese
punto, para esto recurrimos al concepto de que el campo eléctrico total en un
punto originado por cargas puntuales es el resultado de la suma vectorial de
los campos eléctricos que generan cada una de las cargas (E = E₁ + E₂ + E₃)
Luego, para realizar el calculo del campo
eléctrico en un punto usamos la suposición de que la carga es positiva, para
poder establecer la dirección y el sentido del campo.
Agregando que la
distribución que indican de las cargas y el hecho de que sean iguales permite
notar que los campos eléctricos creados en P₁ Y P₂ en el origen (0, 0) son iguales pero
de signo contrario por lo que se anulan.
Por lo que el campo resultante de la
combinación de esas tres cargas es E₂.
|E₁| = |E₂| = |E₃| = E = K.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BQ%7D%7Bd%5E%7B2%7D%20%7D%0A" />
Donde,
d = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B%28%201x10%5E%7B-3%7D%20%29%5E%7B2%7D%20%2B%20%28%0A1x10%5E%7B-3%7D%20%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B2%7D%20x10%5E%7B-3%7D%20" />
Luego,
E = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=9x10%5E%7B9%7D%20.%20%5Cfrac%7B%206x10%5E%7B-6%7D%20%7D%7B%20%28%0A%5Csqrt%7B2%7D%20x10%5E%7B-3%7D%20%29%5E%7B2%7D%20%7D%20%3D%20" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%209x10%5E%7B9%7D%20%5Cfrac%7BN%7D%7BC%7D%20" />
senα = cosα = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%0A%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%20" />
Entonces
E₁ = - E.
Cosα i + E.
Senα
j = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20-9x10%5E%7B9%7D.%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%20i" /> + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=9x10%5E%7B9%7D.%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%20j" />
E₂ = E.
Cosα i + E.
Senα
j = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%209x10%5E%7B9%7D.%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%20i" /> + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=9x10%5E%7B9%7D.%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%20j" />
E₃ = E.
Cosα i - E.
Senα
j = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%209x10%5E%7B9%7D.%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%20i" /> -
[img = 10]
Etotal = E₁ + E₂ + E₃ = [img = 11]
Para que el campo en (0, 0) sea nulo se debe
cumplir que Etotal + E₄ = 0.
∴ E₄ = - Etotal
Para que el campo que crea P₄ tenga el sentido contrario al del resultando de las
otras tres cargas puntuales, la carga en P₄debe ser positiva.
Por lo que si E₄ = - Etotal⇒ |E₄| = |Etotal|
[img = 12][img = 13]
∴ Q₄ = [img = 14] C = 2μC
Esta conclusión puede realizarse sin usar
cálculos matemáticos, observando que por simetría los campos eléctricos
generados por las cargas puntuales P₁
y P₂ en el punto de origen coordenado se anulan, por lo
que las cargas P₂ y P₄
también deberán anularse, dejando que P₂ = P₄
Finalmente para el potencial creado
en el origenpor esta distribución de cargas es el resultado de la suma
escalar de los potenciales de cada carga en el origen.
V = ∑[img = 15] = ∑
K.
\ frac{ Q_{i} }{d_{i}
V = [img = 16] + [img = 17] + [img = 18] + [img = 19]
V = [img = 20]
V = [img = 21]
[img = 22] 5, 09x10⁷
v
b) Para conocer cual es el vector de campo eléctrico en el punto de origen
coordenado (0, 0) tal que el potencial eléctrico en dicho punto se anule :
V = K.
[img = 23] + [img = 24] + [img = 25] + [img = 26]
V = [img = 27] = 0
Despejando obtenemos que :
[img = 28]
∴ Q₄ = - 3Q = - 3.
2x10⁻⁶ = - 6x10⁻⁶ C = - 6μC
Para el campo eléctrico :
E = E₁ + E₂ + E₃ + E₄
|E₄| = E₄ = K.
[img = 29] = 9x10⁹ .
[img = 30] = 27x10⁹
N / C
Usando la suposición de que en el centro la carga es positiva se puede conocer
la dirección y el sentido del campo que crea cada una de las cargas :
E₁ = - E.
Cosα i + E.
Senα = - 9x10⁹[img = 31] i + 9x10⁹[img = 32] j
E₂ = E.
Cosα i + E.
Senα = 9x10⁹[img = 33] i + 9x10⁹[img = 34] j
E₃ = E.
Cosα i - E.
Senα = 9x10⁹[img = 35] i - 9x10⁹[img = 36] j
E₄ = E.
Cosα i + E.
Senα = 27x10⁹[img = 37] i + 27x10⁹[img = 38] j
E = E₁ + E₂ + E₃ + E₄ = 18[img = 39] x10⁹ i + 18[img = 40] x10⁹ j.