Una elipse tiene centro en (−4, −2), y un foco está en (6, −2) ; además pasa por el punto (−4, −7)?

Primero que nada tenemos que tener en cuenta como luce la ecuación canónica de la elipse para luego ir introduciendo los datos.

Laecuación canónicade la elipse tiene la siguiente forma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%28x-h%29%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%28y-k%29%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D%201" /> dondehykson las coordenadasxyydel centro.

Paso 1 : Introduzcamos los datos que nos dan empezando por el centro :

Si el centro es( - 4, - 2)quiere decir queh = - 4yk = - 2

sustituyendo esos valores en la ecuación inicial :

recordando quex - h = x - ( - 4) = x + 4 yanálogamente se procede conktenemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%28x%2B4%29%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%28y%2B2%29%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D%201" />

2do pasoes recordar la propiedad geométrica de las elipsesproducto del teorema de pitagoras , como el foco está 10 unidades a la izquierda del centro entonces c ^ 2 = 100.

Por lo que a ^ 2 - b ^ 2 = 10 ^ 2

El tercer pasoes usar el punto que nos dieron en la ecuación de la elipse con el centro ya definido.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%28-4%2B4%29%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%28-7%2B2%29%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D%201" />

por lo que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%28-5%29%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D%201%20" />

por lo tanto : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%5E2%20%3D%2025" />

luego sustituimos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2%20%3D%20c%5E2%20%2B%20b%5E2%20%3D%20125" />

ahora ya tenemostodoslos ingredientes para generar la ecuación canónica de la elipse.

Sustituyendo estos valores en la ecuación original(<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2%2C%20b%5E2%20" />, y el centro) podemos escribir la ecuación :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%28x%2B4%29%5E2%7D%7B125%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%28y%2B2%29%5E2%7D%7B25%7D%20%3D%201" />.