Una cuerda de 8, 40 m?

Primero pasamos los metros a centímetros.

8, 40 m = 840 cm

La fórmula general para las progresiones aritméticas es la siguiente :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20A_%7Bn%7D%20%3D%20A_%7B1%7D%20%2Bd%28n-1%29%20" />

Donde :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20A_%7Bn%7D%20" /> : Es el elemento buscado en la posición n.

A₁ : Es el primer elemento de la sucesión.

A₁ = 20

d : Es la diferencia entre un elemento y el anterior.

D = 2

n : Marca la posición de cierto elemento.

Saber cuántos pedazos se cortaron es equivalente a saber en qué posición se encuentra el último pedazo cortado, y para eso tenemos que calcular el valor de "n".

Para resolver esto, también tenemos que saber la fórmula de la sumatoria de los "n" primeros términos, y es la siguiente :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20S_%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%28A_%7B1%7D%2BA_%7Bn%7D%29%7D%7B2%7D%20" />

Primero, vemos cómo queda la fórmula general con los datos que tenemos.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20A_%7Bn%7D%20%3D%20A_%7B1%7D%20%2Bd%28n-1%29%5C%5C%20%5C%5C%20A_%7Bn%7D%20%3D%2020%20%2B2%28n-1%29%5C%5C%20%5C%5C%20A_%7Bn%7D%20%3D%2020%20%2B2n-2%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20A_%7Bn%7D%20%3D%2018%20%2B2n%20" /> - - - > Se reemplazará "<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20A_%7Bn%7D%20" />" por "18 + 2n" en la fórmula de la sumatoria.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20S_%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%28A_%7B1%7D%2BA_%7Bn%7D%29%7D%7B2%7D%5C%5C%20%5C%5C%20840%3D%20%5Cfrac%7Bn%2820%2B18%2B2n%29%7D%7B2%7D%5C%5C%20%5C%5C%20840%2A2%20%3D%2020n%2B18n%2B2n%5E%7B2%7D%20%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%201680%20%3D%2038n%2B2n%5E%7B2%7D%20" /> - - - > Igualamos a cero.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%200%20%3D%2038n%2B2n%5E%7B2%7D-1680%20" /> - - - > Simplificamos dividiendo todo por 2 y reacomodamos.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20n%5E%7B2%7D%2B19n-840%20%3D%200%20" />

Nos quedó una ecuación cuadrática del estilo "ax² + bx + c = 0", y una forma de resolverla es aplicando la siguiente fórmula llamada Resolvente :

[img = 10]

Sabiendo esto, resolvemos.

N² + 19n - 840 = 0a b c

a = 1b = 19c = - 840

[img = 11]

Al ser una ecuación cuadrática, tuvimos 2 resultados distintos, pero como estamos hablando de cantidad, y la cantidad no puede ser negativa, tomamos el valor positivo.

Entonces :

n = 21 - - - > Último elemento de la sucesión, por lo tanto, se cortaron 21 trozos.

Se puede comprobar por medio de la ecuación general y de la sumatoria.

Por medio de la ecuación general, podemos saber cuánto mide cada trozo.

[img = 12]

[img = 13] - - - > El último trozo mide 60 cm.

Y por medio de la sumatoria, podemos comprobar que la suma de la longitud de los 21 trozos da 840 cm.

[img = 14]

Saludos desde Argentina.