Una caja cerrada con base cuadrada tiene un volumen de 2000 pulg3 . El material de la base y la tapa cuesta 3 centavos la pulgada cuadrada, mientras que el material para los lados cuesta 1. 5 centavos la pulgada cuadrada. Estime las dimensiones de la caja de modo que el costo total del material sea mínimo. (x = base de la caja, y = profundidad de la caja) !
En resumen
Sea x el lado de la base e y la altura de la caja V = x² y Superficie total S = 2 x² + 4 x y : y = V / x² S = 2 x² + 4 x V / x² = 2 x² + 4 V / x = 2 x² + 8000 / x Una función es mínima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es positiva en el punto crítico.
Sea x el lado de la base e y la altura de la caja
V = x² y
Superficie total S = 2 x² + 4 x y : y = V / x²
S = 2 x² + 4 x V / x² = 2 x² + 4 V / x = 2 x² + 8000 / x
Una función es mínima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es positiva en el punto crítico.
Derivamos S' = 4 x - 8000 / x² = 0
Nos queda x = ∛2000 ≈ 12, 6 pulg
S'' = 4 + 16000 / x³ > 0 para x = 12, 6 pulg.
Hay un mínimo.
Y = V / x² = 2000 / 12, 6²≈ 12, 6
La caja resulta ser un cubo de 12, 6 pulg de lado.
Costos.
Superficies de las bases : 3 centavos .
2 . 12, 6² = $9, 50
Superficies laterales : 1.
5 centavos .
4 . 12, 6² = $9, 50
Total del costo : $19, 00
Saludos Herminio.
Espero te sirva. Saludos!
La caja tiene 6 caras y cada cara tiene una superficie de 4y×2x = 8xy Por lo tanto , la superficie es 6×8xy = 48xy unidades cuadradas.
Se forma una caja de base cuadrada de 18 - 2 x de base y x de altura. Su volumen es : V = (18 - 2 x)² x ; quitamos el paréntesis : V = 4 x³ - 72 x² + 324 x El valor máximo se encuentre en el punto en que su derivada…