Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos hemisféricos. El depósito debe almacenar 10000 litros de fluido. Determinar el radio r y la longitud h que minimizan la cantidad de material utilizado para la construcción del tanque.
Pregunta de Matemáticas · 2 respuestas · 4 votos · mejor respuesta de Andrew49
En resumen
Respuesta : EExplicación paso a paso : En el ejercicio anterior no simplificaron bien cuando reemplazaron H hace falta un R , las respuestas están en metros luego hay que convertir los litros a metros cúbicos.
Respuesta : EExplicación paso a paso : En el ejercicio anterior no simplificaron bien cuando reemplazaron H hace falta un R , las respuestas están en metros luego hay que convertir los litros a metros cúbicos.
Hola!
Bien estamos ante un problema de optimización.
Primero busquemos el volumen total del tanque, el cual viene dado por : Volumen del cilindro y del la esfera, compuesta de los dos hemisferio.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Vc%20%3D%20%5Cpi%20%2A%20R%5E2%20%2A%20H" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Ve%20%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%2A%20%5Cpi%20%2A%20R%5E3" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0AVT%20%3D%20%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%2A%20%5Cpi%20%2A%20R%5E3%20%2B%20%5Cpi%20%2A%20R%5E2%2A%20H%20" />
Despejamos H en función de R :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=H%20%3D%20%20%5Cfrac%7BV%20T%20-%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%2A%20%5Cpi%20%2A%20R%5E3%20%20%7D%7B%5Cpi%20R%5E2%7D%20" />
Ahora planteamos el area total del tanque :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%20%3D%202%2A%20%5Cpi%20%2AR%2A%20H%20%2B%204%2A%20%5Cpi%20%2A%20R%5E2" />
Sustituimos H y acomodamos la ecuación :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%20%3D%202%2A%2810000%20-%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%2A%20%5Cpi%20%2A%20R%5E3%29%20%2B%204%2A%20%5Cpi%20%2A%20R%5E2" />
Derivamos y igualamos a cero para obtener el minimo :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%27%20%3D%20-8%2A%5Cpi%2AR%5E2%20%2B%208%2A%5Cpi%2AR%20--%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%20%200%20%3D%20-8%2A%5Cpi%2AR%5E2%20%2B%208%2A%5Cpi%2AR" />
Si despejamos tenemos 2 soluciones R = 0 y R = 1.
Obviamente es la segunda pues se debe tener algún radio.
Recordar VT = 10000 litros.
Ahora sustituimos en la ecuación de H para tener la altura.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=H%20%3D%20%5Cfrac%7B10000%20-%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%2A%20%5Cpi%20%2A%201%20%7D%7B%5Cpi%20%2A1%7D%20%3D%203181.76%20m" />
El radio y la altura para gasto mínimo de material son :
R = 1m y H = 3181, 76m
Espero haberte ayudado.
1, 400, 000 litros ok 1 cm cuadrado equivale a 1 ml de agua, y 1000 ml que equivale a un metro son y luego otros 140 en cada uno encima de otro equivaldria a multiplicarlo por la altura 140, osea 140 en 1 metro…
Resolución. El volumen del tanque es8181, 23 m³y se utilizó1963, 5 cm²de material. Explicación. Para resolver este problema hay que aplicar las ecuaciones del volumen y área de una esfera, las cuales son : V = 4π * r³ /…