Un silo consta de un cilindro con una parte superior semiesférica?

El área superficial del silo se minimiza cuando el radio es igual a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%20%7Br%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B3V%7D%7B4%5Cpi%7D%7D%5Cquad%20cm%7D" />.

Explicación paso a paso :

La función objetivo es el área superficial del sólido.

Si llamamos h la altura de la porción cilíndrica y r el radio de esta porción y de la semiesfera ; la función objetivo viene dada por la suma de las áreas del contorno, la cara inferior circular y la cara superior semiesférica :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D2%5Cpi%20rh%2B%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%2B2%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%3D2%5Cpi%20rh%2B3%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%20" />

Lo conveniente es que el área esté expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%5Cpi%20r%5E%7B2%7Dh%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E%7B3%7D%5Cqquad%20%5CRightarrow" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Cfrac%7BV-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E%7B3%7D%7D%7B%5Cpi%20r%5E%7B2%7D%7D" />

por tanto la función objetivo es

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%5Cfrac%7B2V%7D%7Br%7D%20%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r%5E%7B2%7D" />

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.

Primero, hallamos los puntos críticos de la función.

Esto es derivar la función e igualar a cero.

Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%3D-%5Cfrac%7B2V%7D%7Br%5E%7B2%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%3D0%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20-%5Cfrac%7B2V%7D%7Br%5E%7B2%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r%3D0%5Cquad%20%5CRightarrow%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-2V%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5Cpir%5E%7B3%7D%3D0%5Cquad%20%5CRightarrow%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbold%7Br%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7B3V%7D%7B4%5Cpi%7D%7D%7D" /> Este es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%27%27%3D%5Cfrac%7B4V%7D%7Br%5E%7B3%7D%7D%20%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%20%5Cpi" />

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

[img = 10]0 \ quad \ Rightarrow \ quad r = \ sqrt[3]{ \ frac{3V}{4 \ pi} }" alt = "A''_{ \ sqrt[3]{ \ frac{3V}{4 \ pi} }}>0 \ quad \ Rightarrow \ quad r = \ sqrt[3]{ \ frac{3V}{4 \ pi} }" align = "absmiddle" class = "latex - formula"> es un mínimo de la función A.