Se desea construir un silo de forma cilíndrica rematada por una semiesfera. El costo de construcción por centímetros cuadrados del cilindro es de $80 y el costo de construcción por centímetros cuadrados de la semiesfera es de $50. Encuentre las dimensiones del silo de volumen 250 〖cm〗 ^ 3, de forma que el costo de construcción sea mínimo.
En resumen
Respuesta.
Respuesta.
Para resolver este problema se tiene que la función objetivo es la siguiente :
C = 80 * Ac + 50 * Ae
Ahora se tiene que el área del cilindro es :
Ac = 2π * r * L + π * r²
Ae = 2π * r²
Sustituyendo se tiene que :
C = 80 * (2π * r * L + π * r²) + 50 * (2π * r²)
Ahora se tiene que el volumen total del silo es :
V = π * r² * L + 2π * r³ / 3
Datos :
V = 250 cm³
Sustituyendo :
250 = π * r² * L + 2π * r³ / 3L = 250 / (π * r²) - 2 * r / 3
Sustituyendo el valor de L en la función objetivo se tiene que :
C = 80 * [2 * π * r * (250 / (π * r²) - 2 * r / 3) + π * r²] + 50 * (2π * r²)C = 40000 * π * r / (π * r²) - 320 * π * r² / 3 + 80 * π * r² + 100 * π * r²C = 40000 / r + 220 * π * r² / 3
Ahora se deriva y se iguala a cero para obtener los puntos críticos :
C' = - 40000 / r² + 440π * r / 30 = - 40000 / r² + 440π * r / 340000 = 440π * r³ / 3r = 4.
428 cm
Entonces L será :
L = 250 / (π * 4.
428²) - 2 * 4.
428 / 3L = 1.
11 cm.