Un oficial al mando de 5050 soldados les ordena formarse en una disposición triangular, de manera qué ka primera fila tenga un soldado, la segunda 2 , la tercera 3?

Progresión aritmética (PA).

Primer término a₁ = 1

Diferencia entre términos consecutivos d = 1

Suma de términos Sn = 5050

Nos pide el nº de filas de la formación que trasladado a dato de la PA sería "n", es decir, el nº de términos de la PA.

Hay que recurrir a la fórmula del término general y a la de suma de términos.

Con ellas hay que montar un sistema de 2 ec.

Con 2 incógnitas.

Término general :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2B%28n-1%29%2Ad%5C%20%5C%20sustituyendo...%5C%5C%20a_n%3D1%2B%28n-1%29%2A1%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3Dn" />

Suma de términos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_n%3D%20%5Cfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%205050%3D%5Cfrac%7B%281%2Ba_n%29%2An%7D%7B2%7D" />

Sustituyo "an" por "n" que he deducido en la 1ª ecuación :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=5050%3D%5Cfrac%7B%281%2Bn%29%2An%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%2010100%3Dn%2Bn%5E2%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20n%5E2%2Bn-10100%20%3D0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a%5C%20resolver%5C%20por%20formula%5C%20general...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bn_1%3D%20%5Cfrac%7B-1%2B201%7D%7B2%7D%20%7D%3D100%20%5Catop%20%7Bn_2%3D%20%5Cfrac%7B-1-201%7D%7B2%7D%20%7D%3D-101%7D%20%5Cright.%20" />

Es obvio que hay que quedarse con la solución positiva puesto que estamos contando filas.

Así pues, la respuesta es 100 filas.

Saludos.