Dados enteros a, b con b
0 existen enteros q y r tales que
a = b q + r y 0 r
|b|
Al número a se le llama dividendo.
Al número b se le llama divisor.
Al número q se le llama cociente.
Al número r se le llama residuo.
En el caso particular que a y b sean
enteros positivos, se trata de hallar el número de veces que el
dividendo contiene al divisor.
Este número se llama cociente, y
lo que queda se llama residuo.
Si queremos hallar el resultado de dividir 19 entre
5 tenemos : 19 = 5x3 + 4, es decir,
que el cociente es 3 y el residuo 4.
Se puede observar que el residuo 4
es mayor que 0 y menor que 5 que es el divisor.
Si queremos hallar el resultado de dividir 23 entre
7 tenemos : 23 = 7x3 + 2, lo que quiere
decir que el cociente es 3 y el residuo es 2.
Cuando el residuo es cero, se dice que la división
es exacta y en este caso se cumple que el dividendo es igual al divisor
por el cociente.
Si la división es exacta, se dice que el
divisor b divide al dividendo a, y esto se simboliza de la
manera siguiente b|a.
Lo anterior motiva la siguiente definición.
Un entero a es
divisible por un entero b, o b es divisor de a cuando
el residuo es cero.
Por tanto existe c Z
tal que a = bxc.
7 es divisor de 35 porque : 35 = 5 veces
7.
Se dice entonces que 7|35.
9 es divisor de 27 porque : 27 = 3 veces
9.
Se dice entonces que 9|27.
Cuando un entero b no es divisor de un entero
a se dice que b no divide a a o que b no es
divisor de a y se denota por ba.
Todo entero que es divisor
de otros es divisor de la suma de ellos.
Sea 7 que divide a 35, 42 y 56.
Luego : 35 =
5 veces 7, 42 = 6 veces 7 y 56 = 8 veces 7.
Sumando ordenadamente resulta : 133 = (5 + 6 + 8) veces 7.
Luego 133 = 19 veces 7.
Se concluye que
7 divide a 133.
El teorema se demuestra generalizando este resultado.
Sea d divisor de A, B, C y sean a, b,
c
sus cocientes respectivos.
Luego : A = ad, B = bd y C = cd
Se concluye : A + B + C = (a + b + c)d
Lo anterior se puede reescribir de la forma siguiente :
Sí dï A, dï B, dï C entonces
dï
(A + B + C).
Todo
entero que es divisor de otro es también divisor de los múltiplos
de ese otro.
Como 2 divide a 6, luego 2 dividirá a 4x6 = 24.
En efecto : 24 = 6 + 6 + 6 + 6.
2 divide a 6, luego dividirá
a 4 veces 6, es decir, a 24 utilizando el teorema 2.
2. 2.
Generalizando, si d|A entonces
d|nAconnZ.
Todo entero que es divisor
de otros dos, es divisor de su diferencia.
Sea 3 que divide a 27 y a 18.
Se tiene : 27 =
9 veces 3 y 18 = 6 veces 3.
Restando ordenadamente tenemos : 27 -
18 = (9 - 6) veces 3.
Luego 9 = 3 veces 3.
Generalizando, si d es divisor de A
y B tal que a y b son sus cocientes respectivos, entonces :
A = ad y B = bd.
Restando ordenadamente se tiene :
A - B = (a - b)d.
Lo anterior se puede reescribir en la forma siguiente :
Sí d|A y d|B,
luego d|(A - B).
Todo entero que divide a otros dos, divide al residuo de la división
de éstos.
Sea 7 que divide a un dividendo 49 y a un divisor
35.
Como el residuo de dividir 49 entre 35 es 14, luego 7 divide a 14.
Generalizando este resultado se tiene :
Sea la división de A entre B
con cociente q y residuo r y sea d un entero que es
divisor de A y de B, es decir : A = Bq + r con 0
r IBI.
Luego A = Bq + r, por el algoritmo de la división.
Entonces, r = A - Bq.
Como d divide
a B, dividirá a Bq.
Si divide a A y Bq
divide también a su diferencia A - Bq.
Luego d
divide
a r.
Teorema.
Si dos enteros divididos por un tercero dan residuos iguales, la diferencia
de estos dos números es divisible por el tercero.
Sean a y b dos números que
divididos por d dan residuo r y cocientes q y
q´
respectivamente, o sea :
a = dq + r y b = dq´ + r.
Restando ordenadamente se tiene a - b = d(q - q´).
Luego d divide a la diferencia entre a y
b.
Este teorema tiene gran importancia cuando se estudia
una teoría llamada teoría de congruencias.
El recíproco de este teorema también
se cumple, es decir : Si la diferencia de dos números es divisible
por un tercero entonces estos números divididos por el tercero dan
residuos iguales.
Usando el algoritmo de la división, demuestre
que cada entero impar es de la forma 4k + 1 o 4k + 3 con kZ
Cualquier entero al ser dividido por cuatro deja
residuo 0 o 1 o 2 o 3.
Es decir, todo entero es de una de estas formas : 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3.
De lo anterior se tiene que cualquier número
impar es de la forma : 4k + 1 o 4k + 3.
. Usando el algoritmo de la división, demuestre
que todo número entero se puede escribir en una de las formas 3s, 3s + 1, 3s + 2.
Sea n un entero cualquiera.
Luego al ser
dividido por 3 se obtiene residuo 0 o 1 o 2.
Entonces se cumple alguno
de los tres casos :
n = 3s
n = 3s + 1 donde
s es el cociente entero de dividir n por 3.
N = 3s + 2
Muestre con un contraejemplo que si
a|(b + c) no necesariamente a|b o a|c.
Sea a = 4 ; b = 5 ; c = 3.
Se
cumple 4|(5 + 3) pero 45 y 43
Muestre que si a es un entero arbitrario
luego 2|a(a + 1).
Si a es par, entonces a(a + 1) es
par.
Por tanto a(a + 1) = 2s, luego 2|a(a + 1).
Si a es impar luego a + 1 es par,
o sea que a(a + 1) es par.
Por tanto a(a + 1) = 2k, luego 2|a(a + 1).