A) La ecuación ordinaria de la elipse que sirve para generar el Litotriptor
Por los datos que te dan, se trata de una elipse horizontal, con centro fuera del origen :
Centro C = (1, - 3) Por comparación obtenemos los valores de h, k C = (h, k)
h = 1
k = - 3
Para obtener el valor de b, lo vamos a obtener a partir del dato :
longitud del semieje menor, igual a 4 unidades
La fórmula nos dice que para obtener este valor es :
2(b) = longitud del semieje menor.
Sustituir datos :
2(b) = 4 despejamos b b = 4 / 2 = 2 b = 2
Los valores de tus focos
F = ( - 2, - 3) Por semejanza comparando con la fórmula
F = (h - c, k) Donde ya sabemos que h = 1 y k = - 3
F = 1 - c = - 2 Despejar c - c = - 2 - 1 El 1 es positivo, pasa al otro lado de la = como negativo.
- c = - 3 Intercambiamos lugares para dejar c como positivo : c = 3
Comprobación :
F = (h - c, k)
F = (1 - 3, - 3)
F = ( - 2 ; - 3)
tu otro foco va a tener las siguientes coordenadas ;
F' = (h + c, k)
F' = (1 + 3, - 3)
F' = (4.
- 3)
Tenemos el valor de :
c = 3 (Es el valor para los focos, no confundir con la C, del centro de la elipse.
B = 2
a = ?
A² = b² + c² Sustituir valores
a² = (2)² + (3)²
a² = 4 + 9
a² = 13 Aqui ya tenemos el valor de a elevada al cuadrado
a = √13
a = 3.
6 Este es el valor solo de a
La ecuación ordinaria es así
Elipse horizontal con centro fuera del origen :
(x - h)² + (y - k)² = 1 a² b²
(x - 1)² + (y + 3)² = 1 13 4
B) Transformar la ecuación ordinaria a la ecuación general de la elipse :
4(x - 1)² + 13(y + 3)² = 1(52) 52 es el resultado de multiplicar 4 por 13
Desarrollas los binomios al cuadrado
4(x² - 2x + 1) + 13(y² + 6y + 9) = 52
Destruyes parentesis aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación
4x² - 8x + 4 + 13y² + 78y + 117 = 52
Acomodas conforme a la ecuación de las cónicas :
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
4x² + 13y² - 8x + 78y + 4 + 117 - 52 = 0 (el 52 positivo, pasa al otro lado de la igualdad con signo contrario)
operas los términos independientes, es decir los que no tienen letras :
4x² + 13y² - 8x + 78y + 69 = 0
Esta es tu ecuación general.
C) Longitud del semieje mayor : = 7.
2 Unidades
2(a) = Longitud del eje mayor
Recuerda que a = 3.
6
2(3.
6) = 7.
2
D) Longitud del semieje menor.
= 4 unidades
Nota : La respuesta ya te la dieron en la pregunta :
".
Y semieje menor igual a 4 unidades"
2(b) =
2(2) = 4
E) Longitud del semieje focal = 6 unidades
2(c)
2(3) = 6 Unidades
F) Las coordenadas de los vértices :
V₁ = (h + a, k) V₂ = (h - a, k)
V₁ = (1 + 3.
6, - 3) V₂ = (1 - 3.
6, - 3)
V₁ = (4.
6, - 3) V₂ = ( - 2.
6, - 3) Vertices del semieje mayor
B₁ = (h, k + b) B₂ = (h, k - b)
B₁ = (1, - 3 + 2) B₂ = (1, - 3 - 2)
B₁ = (1, - 1) B₂ = (1, - 5) Vértices del semieje menor.
No te preguntan por la longitud dellado recto, ni su excentricidad, pero te las voy a dar
Lado Recto
LR = 2b² = 2(2)² = 2(4) = 8 = 2.
22 a 3.
6 3. 6 3.
6
Tu lado recto de cada foco va abrir 1.
1. Este valor 2.
22, lo divides entre 2)
Excentricidad :
e = c = 3 = 0.
8333 a 3.
6
Este es el grado de achatamiento que tendrá tu elipse.