Un fabricante desea cortar en dos partes, una pieza de alambre de 1 metro de longitud :a?

Lo que deseamos es optimizar el area :

a) Sea x el trozo de alambre que es usado para la circunferencia y 1 - x el trozo para el cuadrado : Acuadrado = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20L%5E%7B2%7D%20" /> L = [1 - x] / 4 Acudrado = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%20%5B1-x%5D%2F4%29%5E%7B2%7D%20" /> Acuadrado = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%281-x%29%5E%7B2%7D%20%2F16" /> Acírculo = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cpi%20" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20R%5E%7B2%7D%20" /> Perímetro círculo : x = 2<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20R%5Cpi%20" /> ; R = x / <img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%20%5Cpi%20" /> Acírculo = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cpi%20%20%28x%2F2%20%5Cpi%20%29%5E%7B2%7D%20" /> Acírculo = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5E%7B2%7D%20%2F4%20%5Cpi%20" />

Sumando áreas :

At = Acuadrado + Acirculo

At = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%281-x%29%20%5E%7B2%7D%20%2F16%20%2B%20x%5E%7B2%7D%20%2F4%20%5Cpi%20" />

Derivamos

At' = - 2(1 - x) / 16 + 2x / / 4 \ pi [ / tex]

At' = - (1 - x) / 8 + x / / 2 \ pi [ / tex]

igualando a cero

0 = - (1 - x) / 8 + x / 2 \ pi

(1 - x) / 8 = x / 2 \ pi

2 \ pi(1 - x) = 8x - x \ pi - \ pi = 4x \ pi = x(4 + \ pi)

x = \ pi / (4 + \ pi) (punto crítico) valor para la que el área es máxima

b)

L = 1 - x

Atriangulo = [img = 10] / 2

Realizas exactamente el mismo procedimiento anterior solo que al encontrar el valor de x y la expresión de At debes comprobar el teorema de la segunda derivada, esto de hace derivando nuevamente la expresión de At y si el resultado es un número negativo el valor de x representa un área máxima si el valor de x es positivo representa un área mínima.