Un alambre de longitud L se corta a x unidades de un extremo. Un trozo del alambre se dobla formando un cuadrado, y la otra parte se dobla para formar un circulo. Expresa la suma de las areas en funcion de x.
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 2 votos · mejor respuesta de PRIVACIDAD
En resumen
Si el alambre tiene una longitud L, después del corte tendremos dos trozos de alambre que podemos representar así : Un trozo de alambre será : x (se corta a "x" unidades) El otro trozo de alambre será : L - x (el total menos el primer trozo, ¿pillaste?
Si el alambre tiene una longitud L, después del corte tendremos dos trozos de alambre que podemos representar así :
Un trozo de alambre será : x (se corta a "x" unidades)
El otro trozo de alambre será : L - x (el total menos el primer trozo, ¿pillaste?
)
Supongamos que el primer trozo (x) es el que usamos para hacer el cuadrado.
Si el total mide "x", un lado del cuadrado medirá "x / 4" .
Y por tanto el área de ese cuadrado será :
A = (x / 4)² = x² / 16 unidades cuadradas.
Por otro lado tendremos que el alambre restante (L - x) será el utilizado para construir un círculo.
Ateniendo a la fórmula de la longitud de la circunferencia y que será precisamente (L - x) tendremos que :
L - x = 2·π·r .
Despejando "r".
R = (L - x) / 2·π
Ateniendo a la fórmula del círculo :
A círculo = π·r² .
Sustituyo "r" .
A círculo = π·[(L - x) / 2·π]² = π·(L - x)² / 4·π² .
Simplificando.
A círculo = (L - x)² / 4·π
.
Desarrollando el cuadrado de una diferencia en el numerador.
A círculo = (L² + x² - 2·x·L) / 4·π
Llegamos a la recta final.
Suma de áreas en función de "x".
(x² / 16) + [L² + x² - (2·x·L / 4·π)] = = (4πx² + 64πL² + 64πx² - 32xL) / 64π =
.
Reduciendo términos semejantes en el numerador.
(68πx² + 64πL² - 32xL) / 64π .
Separando fracciones para simplificar más.
(17x² / 16) + L² - (xL / 2π)
Y ese sería para mí el resultado final, si no me he equivocado en alguna operación.
Un ejercicio muy largo, la verdad.
Saludos.
Veamos. Sea x el perímetro del círculo de radio re y el perímetro del cuadrado de lado a Por un lado tenemos : área del círculo : A1 = π r² ; x = 2π r ; luego r = x / (2π) ; A1 = π [x² / (4π²)] = x² / (4π) El perímetro…
Lo que deseamos es optimizar el area : a) Sea x el trozo de alambre que es usado para la circunferencia y 1 - x el trozo para el cuadrado : Acuadrado = L = [1 - x] / 4 Acudrado = Acuadrado = Acírculo = Perímetro círculo…