La ecuación particular que describe la variación del valor en el tiempo es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=P%28t%29%20%3D%2080000%2Ae%5E%7B-0%2C1278%2At%7D" />El valor del carro cuando tenga 12 años será 17260, 60 $ El valor del carro nuevo es 80000 $ Deben pasar 5, 5 años para que el valor del carro se reduzca a la mitadExplicación paso a paso : La expresión que se utiliza para un crecimiento exponencial es la siguiente : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=P%28t%29%20%3D%20Po%2Ae%5E%7Br%2At%7D" />Donde : Po = valor inicial, valor del carro nuevo para t = 0.
R = constante de crecimientot = tiempoP(t) = valor en un tiempo determinado.
Calculo de la constante rSe tienen los siguientes datos Para t = 8 años, P(8) = $28 770.
76Se tiene la ecuación 1<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%2428%20770.76%20%3D%20Po%2Ae%5E%7Br%2A8%7D" />Despejando Po<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Po%20%3D%20%5Cfrac%7B28%20770.76%7D%7Be%5E%7Br%2A8%7D%7D" />Para t = 8 años - 3 años = 5 años, P(5) = $42 218.
55Se tiene la ecuación 2<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%2442%20218.55%20%3D%20Po%2Ae%5E%7Br%2A5%7D" />Despejando Po<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Po%20%3D%20%5Cfrac%7B42%20218.55%7D%7Be%5E%7Br%2A5%7D%7D" />Igualando las ecuaciones 1 y 2<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B28%20770.76%7D%7Be%5E%7Br%2A8%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B42%20218.55%7D%7Be%5E%7Br%2A5%7D%7D" />Se pasan los exponenciales a un lado de la ecuación y las constantes a otro, quedando : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B28%20770.76%7D%7B42%20218.55%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Br%2A8%7D%7D%7Be%5E%7Br%2A5%7D%7D" />Siguiendo las propiedades de exponenciales<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Be%5E%7Br%2A8%7D%7D%7Be%5E%7Br%2A5%7D%7D%20%3D%20e%5E%7Br%2A8-r%2A5%7D%20" />Sustituyendo en la ecuación<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B28%20770.76%7D%7B42%20218.55%7D%20%3De%5E%7Br%2A8-r%2A5%7D" />Aplicando Ln a ambos lados de la igualdad[img = 10]Se simplifica ln y e : [img = 11][img = 12][img = 13][img = 14]Sustituyendo en la ecuación 1, se calcula el valor del carro nuevo, Po : [img = 15][img = 16]Sustituyendo en la ecuación particular el valor de r y Po, nos queda : [img = 17]b) El valor del carro cuando tenga 12 años de uso.
Para calcular este valor se hace uso de la ecuación particular, sustituyendo t = 12[img = 18][img = 19]El valor del carro cuando tenga 12 años será 17260, 60 $ c)El valor del auto cuando era nuevo.
Este valor se calculo en el inciso a y corresponde a Po es 80000 $d) Después de cuántos años de uso el valor del carro se reduce a la mitad?
Para calcular esto se despeja t de la ecuación particular, donde : [img = 20][img = 21]Aplicando ln a ambos lados de la igualdad[img = 22]Se simplifica ln y e[img = 23]Se despeja t[img = 24]Se calcula el valor de P(t)P(t) = Po / 2 = 80000$ / 2 = 40000$Sustituyendo P(t)[img = 25][img = 26]Deben pasar 5, 5 años para que el valor del carro se reduzca a la mitad.