Traza la grafica y determina la ecuacion de la parabola que tiene como directriz la recta y - 4 = 0, foco F ( - 5, 0)?
Traza la grafica y determina la ecuacion de la parabola que tiene como directriz la recta y - 4 = 0, foco F ( - 5, 0).
En resumen
Esta es una parábola vertical que abre hacia abajo (esto lo determina la directriz). Vamos a escribir la ecuación elemental de una parábola vertical. <img src="https://tex.z-dn.net/?
Mejor respuesta
Esta es una parábola vertical que abre hacia abajo (esto lo determina la directriz).
Vamos a escribir la ecuación elemental de una parábola vertical.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-k%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4p%7D%20%28x-h%29%5E2" />
Para armar la ecuación de la parábola necesitamos conocer el vértice y P, recuerda que P es la distancia que hay entre el vértice y el foco o la distancia que hay entre el vértice y la directriz (el vértice está ubicado exactamente en el punto medio entre la directriz y el foco).
Vamos a hallar la distancia media entre la recta <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-4%3D0" /> y el foco F( - 5, 0) para obtener P.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%20%20%7Cy-4%7C" />
Reemplazamos la coordenada Y del foco en la ecuación.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%20%7C%280%29-4%7C%3D%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%204%3D2%20unidades" />
Ya sabemos la distancia media entre el foco y la directriz, es decir que ya sabemos la distancia que hay del vértice al foco o la distancia que hay del vértice a la directriz, pero 2 aún no es P.
Como la parábola abre hacia abajo, P es negativo, por lo tanto :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=P%20%3D%20-2" />
Ahora nos falta hallar el vértice, sabemos que el vértice está por encima del foco, entonces me tengo que parar en el foco y moverme 2 unidades hacia arriba para hallar el vértice, por lo tanto :
Vértice = ( - 5, 2)
Reemplacemos todos los datos en la ecuación.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-k%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4p%7D%20%28x-h%29%5E2" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-2%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%28-2%29%7D%20%28x-%28-5%29%29%5E2" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y-2%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B-8%7D%20%28x%2B5%29%5E2" /> Ecuación de la parábola pedida.
Ahí está en la forma elemental, si la quieres llevar a su forma general simplemente debes solucionarla y dejarla igualada a 0.
La ecuación de la parábola en la forma general es la siguiente.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2B10x%2B8y%2B9%3D0" />
Te adjunto una imagen de la gráfica de la parábola.
Fue un placer, saludos.
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