Tengo este problema de geometría, ABCD es un cuadrado, y H, J, K, I, son los puntos medios de sus lado como en la figura y PQRS es un cuadrado?

Lo que yo haría sería, calcular el área del cuadrado externo, si tomo cada lado como x, el Área exterior sería x ^ 2

Luego, tomaría un triángulo formado (Figura 2) y le hallaría el área

en este caso sería A = B * h / 2 - - - >A = (x / 2)(x) / 2 = (x ^ 2) / 4

Luego, sumaería los 4 triángulos internos.

Es decir 4A = 4((x ^ 2) / 4) = (x ^ 2)

Si notas, el resultado es igual al del área del cuadrado ABCD.

Esto es porque sumas 2 veces el área pintada en azul (figura 3)

Es decir, debes hallar el área de estos, y restarselo a cada triángulo grande.

Para hallar uno, pues tienes un lado, y el valor de α

α = arctan(1 / 2)

α = 26, 565051º

ahora hallas el valor de un lado, en este caso, hallaré v,

para esto, pues me valgo de la trigonometría

Cosα = (v / (x / 2))

(v lado adyacente, x / 2 hipotenusa)

Cos(26, 565051º) = v / (x / 2)

0, 894427 * (x / 2) = v

v = 0, 447213x

Con esto, subdivides este para hallar la altura (figura 4), lo calculo con el triángulo amarillo

tanα = (h / (x / 2))

tan(26, 565051º) = h / (x / 2)

1 / 2 = h / (x / 2)

1 / 2 * (x / 2) = h

h = x / 4

Ahora, regresas a calcular el area del triángulo azul(fig 3)

ya tienes la base = x / 2, y la altura = x / 4

A = B * h / 2

A = ((x / 2) * (x / 4)) / 2

A = (x ^ 2) / 16

Ahora sumas los 4 triángulos azules

4A = 4((x ^ 2) / 16)

4A = (x ^ 2) / 4

Ahora le restas estos 4 pequeños((x ^ 2) / 4), a la suma de los 4 triángulos grandes(x ^ 2).

A = (x ^ 2) - ((x ^ 2) / 4)

A = 3(x ^ 2) / 4

Aquí ya tienes el área del exterior del cuadrado, como nececitas el área interna, entonces,

le restas al áreea del cuadrado grande, el área que nos acabó de dar.

A = (x ^ 2) - (3(x ^ 2) / 4)

A = (x ^ 2) / 4

El cofactor que buscas, lo llamaré k

el área de PQRS = A2

el área de ABCD = 1

es decir A2 = (x ^ 2) / 4

y A1 = (x ^ 2)

k = A2 / A1

k = ((x ^ 2) / 4) / (x ^ 2)

k = 1 / 4

Esto significa que el área del cuadrado inscrito, tiene 1 / 4 de área del cuadrado grande.