Suponiendo que el numerador y el denominador tienen infinitos términos, calcular el valor de la fracción :1 / 3 + 1 / 9 + 1 / 27 + 1 / 81 + ?

Respuesta : 1 / 3 + 1 / 9 + 1 / 24 + 1 / 81 + .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = 21 / 5 + 1 / 25 + 1 / 125 + 1 / 625 + .

Explicación paso a paso : Resolver.

1 / 3 + 1 / 9 + 1 / 27 + 1 / 81 + .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 / 5 + 1 / 25 + 1 / 125 + 1 / 625 + .

Se tratan de dos progresiones geométricas infinitas Una progresión geométrica cada termino excepto el primero se obtiene multiplicando el termino anterior por una cantidad constante llamada razónLa razón = Un termino dividido el termino anterior1 / 3 + 1 / 9 + 1 / 27 + 1 / 81 + .

Razon = r = (1 / 9) / (1 / 3) = 3 / 9 = 1 / 3Primer termino = a₁ = 1 / 3Formula para la suma de los términos de una progresión infinita.

1 / 3 + 1 / 9 + 1 / 27 + 1 / 81 + .

S = a₁ / (1 - r)S = ( 1 / 3) / (1 - 1 / 3) S = (1 / 3) / (3 / 3 - 1 / 3)S = (1 / 3) / (2 / 3)S = (3) / (3 * 2) Simplifica el 3S = 1 / 21 / 5 + 1 / 25 + 1 / 125 + 1 / 625 + .

S = (1 / 5) / (1 - 1 / 5)S = (1 / 5) / (5 / 5 - 1 / 5)S = (1 / 5) / (4 / 5)S = (5) / (5 * 4) Simplificamos el 5S = 1 / 41 / 3 + 1 / 9 + 1 / 24 + 1 / 81 + .

(1 / 2) 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - - - - - - - - = - - - - - - - - = 21 / 5 + 1 / 25 + 1 / 125 + 1 / 625 + .

(1 / 4) 2.