Si : Tgx = 3hallar Tg 2x?

Hay que despejar el valor de x primero :

sen x = 2 / 3

De este ángulo buscamos el coseno y como sabemos :

cos x = √1 - sen² x

nos da

cos x = √[(9 / 9) - (4 / 9)] = √(5 / 9)

Como estamos en el segundo cuadrante queda

cos x = - √(5 / 9) .

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. . [1]

Ahora ponemos

cos 2x = cos² x - sen² x

cos 2x = [ - √(5 / 9)]² - (2 / 3)²

Aquí al multiplicar en el cuadrado de - √(5 / 9) por si mismo nos da posit6ivo ( - x - = + ), luego se tiene

cos 2 x = 5 / 9 - 4 / 9

cos 2 x = 1 / 9

Para el segundo ejercicio tenemos :

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. √(1 - cos x)

tg (x / 2) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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√(1 + cos x)

Reemplazando por el valor en [1]

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. √(1 - ( - √(5 / 9)

tg (x / 2) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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√(1 + ( - √(5 / 9)

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. √(1 + √(5 / 9)

tg (x / 2) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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. √(1 - √(5 / 9)

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. √(1 + 0, 74536)

tg (x / 2) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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. √(1 - 0, 74536)

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. √(1, 74536)

tg (x / 2) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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. √(0, 25464)

tg (x / 2) = √6, 85422

tg (x / 2) = 2, 61805

Ahora bien, si x está en el segundo cuadrante hay que determinar don se sitúa x / 2, por tanto si tenemos

arc sen 2 / 3 = 180º - 41º 48´ = 138º 12´

x / 2 = 138º 12´ / 2 = 69º 6´

Luego, x / 2 queda en el primer cuadrante donde la tangente es positiva, o sea que

tg (x / 2) = 2, 61805

Saludos.