Si sen(∝) = 4 / 5, hallar cos ( ∝ ), tan (∝ ), cot (∝), sec ( ∝ ) y cosc (∝ ), para ∝entre 0 y 2π?

Si sen(α) = 4 / 5 entonces tienes dos casos, que esté en el Primer Cuadrante o que esté en el Segundo Cuadrante :

Tienes lo siguiente :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sen%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B%5C%20cateto%20%5C%20opuesto%7D%7Bhipotenusa%7D%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%20%20" />

Utilizas el teorema de Pitágoras :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B5%5E2-4%5E2%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B25-16%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B9%7D%20%3D%5C%20cateto%20%5C%20%5C%20adyacente" />

Caso 1.

Primer Cuadrante :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sen%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%20%2Ccos%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5C%5C%20%5C%5Ctan%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%2Ccot%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%20%5C%5C%20%5C%5Csec%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%20%2Ccsc%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%20" />

Caso 2.

Segundo Cuadrante :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sen%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%20%2Ccos%20%5Calpha%20%3D-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%5C%5C%20%5C%5Ctan%20%5Calpha%20%3D-%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%2Ccot%20%5Calpha%20%3D-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%5C%5Csec%20%5Calpha%20%3D-%20%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%20%2Ccsc%20%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%20" />

Saludos!