Si se cumple que :[tex]$MCM = \ bigg( \ overline{abc} \ ; \ overline{(a + 1)(b + 4)(c + 2)} \ bigg) = 22344$[ / tex]Calcular a + b + cEspero me puedan ayudar, gracias de antemano?

¡Buenas!

Tema : Mínimo Común Múltiplo<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextbf%7BProblema%20%3A%7D" />Si se cumple que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextrm%7BMCM%7D%20%28%5Coverline%7Babc%7D%5C%20%3B%5C%20%5Coverline%7B%28a%2B1%29%28b%2B4%29%28c%2B2%29%7D%29%20%3D%2022344" />Calcule <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%2Bb%2Bc" />.

RESOLUCIÓNEmpecemos con una propiedad acerca del mínimo común múltiplo de dos números.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextbf%7BPropiedad%20%3A%7D" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextrm%7BEl%20MCM%20de%20dos%20n%5C%27umeros%20A%20y%20B%2C%20siendo%20%5Ctextrm%7BMCM%28A%3B%20B%29%7D%20%3D%20m%7D%20%5C%5C%20%5Ctextrm%7Bse%20cumplir%5C%27a%20que%20m%20%3D%20Ap%20y%20m%20%3D%20Bq%20%2C%20siendo%20p%20y%20q%20primos%20entre%20s%5C%27i.%7D" />Observación<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctextrm%7Bp%20y%20q%20son%20n%5C%27umeros%20enteros%20positivos%7D" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5C%7B%5Ctextrm%7Bp%7D%5C%20%3B%5C%20%5Ctextrm%7Bq%7D%5C%7D%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5E%7B%2B%7D" />Esta propiedad nos ayudará más adelante, debemos ahora fijar nuestra atención en el numeral <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverline%7B%28a%2B1%29%28b%2B4%29%28c%2B2%29%7D" /> el cual vamos a descomponer polinómicamente.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverline%7B%28a%2B1%29%28b%2B4%29%28c%2B2%29%7D%20%3D%20100%28a%2B1%29%20%2B10%28b%2B4%29%20%2B%20%28c%2B2%29" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverline%7B%28a%2B1%29%28b%2B4%29%28c%2B2%29%7D%20%3D%20100a%20%2B%2010b%20%2B%20c%20%2B100%20%2B40%20%2B%202" />Notemos que.

[img = 10]Entonces el numeral [img = 11] es equivalente a [img = 12].

[img = 13]Con lo cual podemos escribir el [img = 14] de esta forma.

[img = 15]Ahora apliquemos la propiedad para hallar el valor del numeral [img = 16].

[img = 17][img = 18]A partir de este sistema de ecuaciones deducimos lo siguiente : [img = 19]Realizando algunas operaciones llegamos a lo siguiente : [img = 20]Operando la descomposición canónica de [img = 21] y [img = 22] tenemos que : [img = 23][img = 24]Debido a que estamos trabajando con enteros necesariamente debe existir el factor primo [img = 25] en la parte derecha de la igualdad, entonces [img = 26] debe ser un múltiplo [img = 27]Momentáneamente diremos que [img = 28] es igual a [img = 29].

Con el sistema de ecuaciones que formulamos anteriormente obtenemos la siguiente igualdad.

[img = 30][img = 31][img = 32][img = 33]A su vez debe cumplirse.

[img = 34][img = 35]Resolver esta última ecuación es sencilla, siendo la solución [img = 36], debo aclarar que no admitimos la solución negativa de la ecuación, ya que como hemos mencionado anteriormente, [img = 37] es positivo.

[img = 38]El valor de [img = 39] verifica el resultado de [img = 40]Nos piden el valor de [img = 41].

[img = 42]RESPUESTA[img = 43].