Si CXD tiene 8 parejas ordenadas y C tiene 2 elementos, cuántos elementos tiene D?

3. 3 Producto Cartesiano.

3. 3.

1 Definición.

Sean A y B conjuntos.

Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota AxB y se le llamaproducto cartesianode A y B.

Simbólicamente :

AxB = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}.

En consecuencia :

(x, y) ∈ AxB ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B

(x, y) ∉ AxB ⇔ x ∉ A ∨y ∉ B

En particular, siendoRel conjunto de los números reales, se tiene :

RxR = {(x, y) / x∈R∧y∈R}.

RxRes el conjunto de todas las parejas de números reales.

La representación geométrica deRxResel plano cartesianollamado también plano numérico.

Se establece una relación biunívocaentreRxRy el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x, y).

Ejemplo 1 :

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano AxB será :

AxB = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}.

Ejemplo 2 :

Sean A = {x / x ∈R∧1 < x ≤ 3 }, B = {x / x ∈R∧ - 2 ≤ x < 2 }.

Su representación geométrica es :

AxB es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR.

Ejemplo 3 :

Sean A = {x / x ∈N∧1 ≤ x < 4}, B = {x / x ∈R∧1 ≤ x ≤ 3}.

Representar AxB en el plano cartesiano.

Nota : La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2, .

, An.

En este caso, al conjunto formado por todas las n - adas ordenadas (a1, a2, .

, an) tales que ai∈ Aicon i = 1, 2, .

, n, se llamaproducto cartesiano deA1, A2, .

, Any se denota A1xA2x.

XAn. 3.

3. 2 Propiedades del producto cartesiano.

3. 3.

2. 1A ⊂ X ∧ B ⊂ Y ⇔ AxB ⊂ XxY.

3. 3.

2. 2AxB = 0 ⇔ A = 0 ∨B = 0.

3. 3.

2. 3A ≠ B ∧AxB≠0⇒AxB≠BxA.

3. 3.

2. 4Ax(B • C) = (AxB)( AxC).

3. 3.

2. 5Ax( B + C) = (AxB) + ( AxC ).

Demostración de 3.

3. 2.

2 :

Suponga que AxB = 0.

Razonando por reducción al absurdo, sí A ≠ 0 y B ≠ 0 ; entonces existen elementos a y b tales que a ∈ A y b ∈ B.

Luego la pareja (a, b) ∈ AxB, en contradicción con la hipótesis de que AxB = 0.

Recíprocamente si A = 0, debe ser AxB = 0 pues si se llega a dar que AxB ≠ 0, existirá (a, b) ∈ AxB entonces a ∈ A en contradicción con la suposición de que A = 0.

Análogamente se razona en el caso de que B = 0.

Demostración de 3.

3. 2.

4 : (x, y) ∈ Ax(B • C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B • C.

⇔ x ∈ A ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C).

⇔ ( x ∈A ∧y∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C).

⇔ (x, y) ∈ AxB ∧ (x, y) ∈ AxC.

⇔ (x, y) ∈ (AxB) • (AxC).

3. 3.

3 Número de elementos del producto cartesiano.

(Técnicas de conteo).

Para conjuntos finitos A y B se tiene :

|AxB| = |A||B|.

Puesto que : AxB = {(a, b) : a∈A∧b∈B}.

Y para cada una de las | A | elecciones de a en A hay | B| elecciones de b en B para formar el par ordenado (a, b).

Ejemplo 4.

Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}.

Entonces AxB consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma : Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante.

3. 3.

3. 1 Reglas del producto.

Para conjuntos finitos A1, A2, .

, Ak, se tiene : k

|A1xA2x.

XAn| = ∏|Aj| j = 1

De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como un conjunto de k - adas ordenadas de la forma (a1, a2, .

, ak) con la siguiente estructura.

Hay n1elecciones posibles de a1.

Dado a1, hay n2elecciones posibles de a2.

Dados a1y a2hay n3elecciones posibles de a3.

En general dados a1, a2, .

, aj - 1 hay njelecciones posibles de aj.

Entonces el conjunto tiene n1, n2, .

, nkelementos.

Ejemplo 5 : Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas con reemplazo de una baraja de 52 cartas.