Si : csc2x - cot⁡2x = 1 / 3 calcular : W = csc⁡4x + cot⁡4x?

Bueno, lo primero es tener en cuenta algunas identidades trigonométricas que necesitas saberlas.

De éstas se derivan toda la geometría.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sin%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%2Bcos%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%3D1" />

Luego, unas razones trigonométricas que debes saber manejar

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=csc%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin%28x%29%7D%20%20%5C%5C%20cot%28x%29%3D%20%5Cfrac%7Bcos%28x%29%7D%7Bsin%28x%29%7D%20" />

y por último propiedades de la función seno y coseno.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sin%282x%29%3Dsin%28x%2Bx%29%3Dsin%28x%29cos%28x%29%2Bcos%28x%29sin%28x%29%3D2sin%28x%29cos%28x%29%20%5C%5C%20cos%282x%29%3Dcos%28x%2Bx%29%3Dcos%28x%29cos%28x%29-sin%28x%29sin%28x%29%3D...%20%5C%5C%20...%3Dcos%5E%7B2%7D%28x%29-sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%20" />

y listo ahora sí.

Vamos a empezar.

Primero desarrollemos la condición que nos dan.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3Acsc%282x%29-ctg%282x%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%3A%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin%282x%29%7D%20-%20%5Cfrac%7Bcos%282x%29%7D%7Bsin%282x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%3A%20%5Cfrac%7B1-cos%282x%29%7D%7Bsin%282x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%3A%20%5Cfrac%7B1-%28cos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20-sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%7D%7Bsin%282x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%3A%20%5Cfrac%7B%281-cos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%2Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7B2sin%28x%29cos%28x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%3A%20%5Cfrac%7Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%2Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7B2sin%28x%29cos%28x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%3A%20%5Cfrac%7B2sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7B2sin%28x%29cos%28x%29%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%3A%20%5Cfrac%7Bsin%28x%29%7D%7Bcos%28x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%20%5C%5C%20%3Atan%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20" />

ahora apliquemos un poco de triángulos.

Nos dice que la tangente de el ángulo x es igual a 1 / 3 pero si recuerdas la tangente es igual a cateto opuesto sobre cateto adyacente.

Abajo te dejo la imagen de triángulo que nos va a ayudar a resolver el ejercicio.

Bien, vamos a desarrollar ahora W

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=W%3Dcsc%284x%29%2Bctg%284x%29%20%5C%5C%20W%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin%284x%29%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bcos%284x%29%7D%7Bsin%284x%29%7D%20%20%5C%5C%20W%3D%20%5Cfrac%7B1-cos%284x%29%7D%7Bsin%284x%29%7D%20" />

Ahora vamos a hacer algo de "trampa", vamos a usar la identidad trigonométrica del coseno de 4x que ya fue demostrada.

Nosotros vamos a usarla.

Digo trampa porque no se deberían usarlas, se las debe intuir.

Y de ahí usarlas.

Pero para no sentirme mal.

Vamos a demostrarla.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=cos%284x%29%3Dcos%282%282x%29%29%3Dcos%282x%2B2x%29%3Dcos%20%5E%7B2%7D%20%282x%29-sin%20%5E%7B2%7D%20%282x%29%3D...%20%5C%5C%20...%3D%281-sin%20%5E%7B2%7D%282x%29%20%29-sin%20%5E%7B2%7D%20%282x%29%3D1-2sin%20%5E%7B2%7D%20%282x%29%3D1-2%28sin%282x%29%29%20%5E%7B2%7D%20%3D...%20%5C%5C%20...%3D1-2%282sin%28x%29cos%28x%29%29%20%5E%7B2%7D%20%3D1-2%284sin%20%5E%7B2%7D%28x%29cos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%20%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20cos%284x%29%3D1-8sin%20%5E%7B2%7D%20%28x%29cos%20%5E%7B2%7D%20%28x%29" />

ahora para el seno.

Es exactamente lo mismo

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sin%284x%29%3Dsin%282x%2B2x%29%3D2sin%282x%29cos%282x%29%3D2%282sin%28x%29cos%28x%29%29cos%282x%29%20%5C%5C%20...%3D4sin%28x%29cos%28x%29%28cos%20%5E%7B2%7D%28x%29-sin%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%20%29" />

y con eso basta.

Ahora usemos éstas dos cosas que acabamos de demostrar y reemplacemos en W

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=W%3D%20%5Cfrac%7B1-cos%284x%29%7D%7Bsin%284x%29%7D%20%20%5C%5C%20W%3D%20%5Cfrac%7B1-%281-8sin%20%5E%7B2%7D%28x%29cos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%20%29%7D%7B4sin%28x%29cos%28x%29%28cos%20%5E%7B2%7D%28x%29-sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%20%29%7D%20%20%5C%5C%20W%3D%20%5Cfrac%7B8sin%20%5E%7B2%7D%28x%29cos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%20%7D%7B4sin%28x%29cos%28x%29%28cos%20%5E%7B2%7D%28x%29-sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%20%29%7D%20" />

si te fijas podemos simplificar el seno, y también el coseno.

Y nos quedaría así.

Y el 4 con el 8

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20W%3D%20%5Cfrac%7B2sin%28x%29cos%28x%29%20%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29-sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%7D" />

aún podemos reducir un poco más

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=W%3D%20%5Cfrac%7B2sin%28x%29cos%28x%29%20%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29-sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%7D%20%5C%5C%20W%3D%20%5Cfrac%7B2sin%28x%29cos%28x%29%7D%7B%281-sin%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%29-sin%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%29%7D%20%20%5C%5C%20W%3D%20%5Cfrac%7B2sin%28x%29cos%28x%29%7D%7B1-2sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20" />

podemos dejarle hasta ahí ya está mejor.

Ahora vamos a usar el triángulo que obtuvimos anteriormente y vamos a obtener lo que necesitamos para saber cuanto vale W es decir necesitamos saber cuanto es el seno de x y el coseno de x.

Entonces mira el imagen que ahí ya están los valores del seno y coseno de x, ahora reemplacemos.

[img = 10]

y ya eso fue todo.

: 3. Nota : es bueno que sepas usar las identidad trigonométricas, como te diste cuenta, todas identidades que se te puedan ocurrir todas se las demuestra en base a unas poquitas.

La primera y por supuesta las dos propiedades de la suma del seno y la suma de coseno.

Y ya

Es bueno que sepas demostrarlas, hay profesores que te ponen unas cosas feísimas, y acuérdate alguna de esas fórmula del seno de 7x al cuadrado y no sé que horrores más.

Con que te sepas los primeros puntos que puse al comienzo vas a poder demostrar lo que te pongan.

Ahora si te aprendes pues muchísimo mejor.

: P. .