(senx - cosx)×(1 / secx ×1 / cosx) = 2sen²x - 1?

(sen³x + cos³x) / (2sen²x - 1) = (secx - senx) / (tanx - 1)

reescribamos secx como 1 / cosx y tanx como senx / cosx :

(sen³x + cos³x) / (2sen²x - 1) = [(1 / cosx) - senx] / [(senx / cosx) - 1]

(poniendo cosx como denominador común en el segundo miembro)

(sen³x + cos³x) / (2sen²x - 1) = [(1 - senx cosx) / cosx] / [(senx - cosx) / cosx]

(sen³x + cos³x) / (2sen²x - 1) = [(1 - senx cosx) / cosx] [cosx / (senx - cosx)]

(simplificando)

(sen³x + cos³x) / (2sen²x - 1) = (1 - senx cosx) / (senx - cosx)

factoricemos la suma de cubos en el numerador en el primer miembro (aplicando la regla a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) ) :

[(senx + cosx)(sen²x - senx cosx + cos²x)] / (2sen²x - 1) = (1 -

senx cosx) / (senx - cosx)

apliquemos, en el denominador en el primer miembro, la identidad fundamental sen²x + cos²x = 1 :

{(senx + cosx)[(sen²x + cos²x) - senx cosx] / (2sen²x - 1) = (1 -

senx cosx) / (senx - cosx)

[(senx + cosx)(1 - senx cosx)] / (2sen²x - 1) = (1 - senx cosx) / (senx - cosx)

apliquemos otra vez, en el denominador en el primer miembro, la identidad fundamental 1 = sen²x + cos²x :

[(senx + cosx)(1 - senx cosx)] / [2sen²x - (sen²x + cos²x)] = (1 -

senx cosx) / (senx - cosx)

[(senx + cosx)(1 - senx cosx)] / (2sen²x - sen²x - cos²x) = (1 -

senx cosx) / (senx - cosx)

[(senx + cosx)(1 - senx cosx)] / (sen²x - cos²x) = (1 - senx cosx) / (senx - cosx)

factoricemos el denominador en el primer miembro como diferencia de cuadrados (según la regla a² - b² = (a + b)(a - b) ) :

[(senx + cosx)(1 - senx cosx)] / [(senx + cosx)(senx - cosx)] = (1 -

senx cosx) / (senx - cosx)

simplificando, concluimos con :

(1 - senx cosx) / (senx - cosx) = (1 - senx cosx) / (senx - cosx).