Sean m y n enteros positivos tales que m + n = 2015, m es multiplo de 3 y n es multiplo de 7?

Sea m = 3p y n = 7q

entonces 3p + 7q = 2015

Hallemos una solución particular, ensayemos

Para p :

[] significa parte entera

[2015 / 3] = 671

cuyo resto es 2

ensayemos con

p = 670 : 2010 + 7p = 2015 = = = > 7p = 5(descartado)

p = 669 : 2007 + 7p = 2015 = = = > 7p = 8(descartado)

p = 668 : 2004 + 7p = 2015 = = = > 7p = 11(descartado)

p = 667 : 2001 + 7p = 2015 = = = > 7p = 14 = = > p = 2(queda)

solución particular p = 668 y p = 2

solución general

p = 7k + 667

q = 2 - 3k

entonces

m = 21k + 2001

n = 14 - 21k

entonces para que m y n sean positivos tenemos

21k + 2001 > 0 y14 - 21k > 0

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=k%5Cgeq%2096" /> y<img src="https://tex.z-dn.net/?f=k%5Cleq%200" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=k%5Cin%5B-96%2C0%5D" />

ahora hallemos 3m + 7n = - 84k + 6101 - 84k + 6101 = 6101 mod 21

[6101 / 21] = 290 con resto 11

respuesta 11.