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Sean los vectores c ⃗ = 2i + 8j - 16k y d ⃗ = - 4i - 16j + 32k, determine :El ángulo entre ellos?

Sean los vectores c ⃗ = 2i + 8j - 16k y d ⃗ = - 4i - 16j + 32k, determine : El ángulo entre ellos. Si c ⃗ y d ⃗ son vectores ortogonales o no. Explique sus resultados. Dados los siguientes vectores : c ⃗ = (5, 6, 7), d ⃗ = (8, 9, 1) y e ⃗ = (2, 3, 4) demuestre que las siguientes propiedades son falsas o verdaderas : (c ⃗×d ⃗) ≠(d ⃗×c ⃗) (c ⃗×d ⃗) ∙e ⃗ = c ⃗∙ (d ⃗×e ⃗) (c ⃗×d ⃗) ×e ⃗ ≠ c ⃗× (d ⃗×e ⃗) Explique sus resultados.

5Axel250
MatemáticasNivel Avanzado

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Emelyubri
0

Sean los vectores c y d el angulo entre ellos es 166, 5 ° y no son vectores ortogonales Para determinar el angulo entre los dos vectores se puede usar el siguiente teorema : Sean u y v, dos vectores diferentes de cero, si α es el angulo entre ellos, entonces : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=cos%28%5Calpha%20%29%3D%5Cfrac%7Bu%2Av%7D%7Buv%7D" />donde u * v es el producto punto entre los vectores u y v, y uv es producto de sus magnitudes.

Ahora dado los vectores del problema : c = 2i + 8j - 16kd = - 4i - 16j + 32kLa magnitud de los vectores son : ΙcΙ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B2%5E2%2B8%5E2%2B%28-16%29%5E2%7D%3D18" />ΙdΙ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B4%5E2%2B%28-16%29%5E2%2B%2832%29%5E2%7D%3D36" />El producto punto es : c·d = ci * di + cj * dj + ck * dkc·d = 2 * 4 - 8 * 16 - 16 * 32 = 8 - 126 - 512 = - 630Por lo tanto el angulo es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=cos%28%5Calpha%20%29%3D%5Cfrac%7B-630%7D%7B18%2A36%7D%3D%5Cfrac%7B-630%7D%7B648%7D%3D-0%2C97" />α = cos ^ ( - 1)( - 0, 97) = 166, 5°Lo que significa que no son vectores ortogonales.

Dado los vectores : c = 5i + 6j + 7kd = 8i + 9j + ke = 2i + 3j + 4k1.

(c x d)≠(d x c) esto es verdaderoPara determinar el producto cruz se procede de la siguiente manera : sea el vector u = ai + bj + ck y v = di + ej + fk entonces el producto cruz de u y v denotado u x v es un nuevo vector defino por : u x v = (bf - ce)i + (cd - af)j + (ae - bd)kEntonces : c x d = (5i + 6j + 7k) x (8i + 9j + k) = (6 * 1 - 7 * 9)i + (7 * 8 - 5 * 1)j + (5 * 9 - 6 * 8)k = - 57i + 51j - 3kd x c = (8i + 9j + k) x (5i + 6j + 7k) = (9 * 7 - 1 * 6)i + (1 * 5 - 8 * 7)j + (8 * 6 - 9 * 5)k = 57i - 51j + 32.

(c x d)·e = c·(d x e) es verdaderoc x d = - 57i + 51j - 3k(c x d)·e = ( - 57i + 51j - 3k)·(2i + 3j + 4k) = - 114 + 153 - 12 = 27d x e = (9 * 4 - 1 * 3)i + (1 * 2 - 8 * 4)j + (8 * 3 - 9 * 2)k = 33i - 30j + 6kc·(d x e) = (5i + 6j + 7k)·(33i - 30j + 6k) = 165 - 180 + 42 = 273.

(c x d)x e≠c x (d x e) esto es verdaderoc x d = - 57i + 51j - 3k (c x d)x e = ( - 57i + 51j - 3k)x(2i + 3j + 4k) = (51 * 4 + 3 * 3)i + ( - 3 * 2 + 57 * 4)j + ( - 57 * 3 - 51 * 2)k = 213i + 222j - 273kc x (d x e) = (5i + 6j + 7k)x(33i - 30j + 6k) = (6 * 6 + 7 * 30)i + (7 * 33 - 5 * 6)j + (5 * ( - 30) - 6 * 33)k = 246i + 201j - 348k.

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