En todos los items se usan identidades trigonométricas para expresar las ecuaciones en términos de una sola expresión trigonométrica y se aplican técnicas de factorización para ecuaciones de segundo grado.
Especificamente, factores comunes, binomios con términos semejantes, diferencias de cuadrados y la resolvente o fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado.
Explicación paso a paso : a.
4 - Sen(x) = 4Cos²(x) Expresemos todo en Sen(x)4 - Sen(x) = 4Cos²(x) ⇒ 4 - Sen(x) = 4[1 - Sen²(x)] ⇒ Apliquemos la técnica de factor común e igualación de los factores a cero para obtención de las raíces : 4Sen²(x) - Sen(x) = 0 ⇒ Sen(x)[4Sen(x) - 1] = 0Por tanto Sen(x) = 0 ∨ Sen(x) = 1 / 4Las raíces son : x = 0° ∧ x = 14, 5° b.
Sen²(x) + Cos(x) + 1 = 0 Expresemos todo en Cos(x)Sen²(x) + Cos(x) + 1 = 0 ⇒ 1 - Cos²(x) + Cos(x) + 1 = 0⇒ Cos²(x) - Cos(x) - 2 = 0Usamos la técnica de binomios con término semejante : (x ± a)(x ± b) donde, El signo en el primer factor es el signo del término grado uno en la ecuación y el signo en el segundo factor es el producto de los signos de los términos grado uno y grado cero.
A y b son dos números que sumados (con los signos mencionados) den como resultado el coeficiente del término grado uno y multiplicados den como resultado el coeficiente del término grado cero.
En el caso que nos ocupa : Signo en el primer factor = - Signo en el segundo factor = ( - )( - ) = + a = ( - 2) + (1) = - 1 b = (1)( - 2) = - 2 Por tanto [Cos(x) - 2][Cos(x) + 1] = 0Cos(x) = 2 (imposible) ∨ Cos(x) = - 1La raíz es : x = 180° c.
5 - 5Cos(x) = 3Sen²(x) Expresemos todo en Cos(x)5 - 5Cos(x) = 3Sen²(x) ⇒ 5 - 5Cos(x) = 3[1 - Cos²(x)] ⇒ 3Cos²(x) - 5Cos(x) + 2 = 0Vamos a aplicar la fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado : Sea la ecuación ±ax² ± bx ± c = 0 entonces, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cmathbf%20%7Bx%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D-4ac%7D%7D%7B2a%7D%7D%20" />En el caso que nos ocupa : a = 3 b = - 5 c = 2Sustituyendo en la fórmula<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Cos%28x%29%20%3D%20%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D-4ac%7D%7D%7B2a%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-%28-5%29%5Cpm%5Csqrt%7B%28-5%29%5E%7B2%7D-4%282%29%283%29%7D%7D%7B2%283%29%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=Cos%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B5%5Cpm%5Csqrt%7B1%7D%7D%7B6%7D%3D%20%5Cfrac%7B5%5Cpm1%7D%7B6%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow" />Por tanto Cos(x) = 1 ∨ Cos(x) = 2 / 3Las raíces son : x = 0° ∧ x = 48, 2° d.
8Tg(x) = 3Cos(x) Expresemos todo en Sen(x)8Tg(x) = 3Cos(x) ⇒ 8[Sen(x) / Cos(x)] = 3Cos(x) ⇒ Sen(x) = 3Cos²(x) ⇒ 8Sen(x) = 3[1 - Sen²(x)] ⇒ 3Sen²(x) + 8Sen(x) - 3 = 0Apliquemos la técnica de factor común e igualación de los factores a cero para obtención de las raíces : 4Sen²(x) - Sen(x) = 0 ⇒ Sen(x)[4Sen(x) - 1] = 0Vamos a seguir el procedimiento en c.
A = 3 b = 8 c = - 3Sustituyendo en la fórmula <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20Sen%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B-%288%29%5Cpm%5Csqrt%7B%288%29%5E%7B2%7D-4%283%29%28-3%29%7D%7D%7B2%283%29%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20%3D%20%5Cfrac%7B-8%5Cpm%5Csqrt%7B100%7D%7D%7B6%7D%3D%20%5Cfrac%7B-8%5Cpm10%7D%7B6%7D%5Cqquad%5CRightarrow%20" /> Por tanto Sen(x) = - 3 (imposible) ∨ Sen(x) = 1 / 3La raíz es : x = 19, 5° e.
Sen²(x) + 5Cos²(x) = 3 Expresemos todo en Cos(x)Sen²(x) + 5Cos²(x) = 3 ⇒ [1 - Cos²(x)] + 5Cos²(x) = 3 ⇒ 4Cos²(x) - 2 = 0Apliquemos la técnica de binomios conjugados o diferencia de cuadrados : 4Cos²(x) - 2 = 0 ⇒ [2Cos(x) + √2] [2Cos(x) - √2] = 0Por tanto Cos(x) = √2 / 2 ∨ Cos(x) = - √2 / 2Las raíces son : x = 45° ∧ x = 135° (también cumplen x = 225° ∧ x = 315°)f.
1 - Cos²(x) = - 2Sen(x)Cos(x) 1 - Cos²(x) = - 2Sen(x)Cos(x) ⇒ Sen²(x) = - 2Sen(x)Cos(x) ⇒ Sen²(x) + 2Sen(x)Cos(x) = 0 ⇒ Sen(x)[Sen(x) + 2Cos(x)] = 0 ⇒ Sen(x) = 0 ∨ Sen(x) + 2Cos(x) = 0 ⇒ Sen(x) = - 2Cos(x) ⇒ Tg(x) = - 2Por tanto Las raíces son : x = 0° ∧ x = 117°(también cumplen x = 180° ∧ x = 297°)g.
3Ctg(x) = Tg(x) Expresemos todo en Tg(x)3Ctg(x) = Tg(x) ⇒ 3 / Tg(x) = Tg(x) ⇒ 3 = Tg²(x)Por tanto Tg(x) = √3 ∨ Tg(x) = - √3Las raíces son : x = 60° ∧ x = 120° (también cumplen x = 240° ∧ x = 300°)h.
2Tg²(x) + 3Sec(x) = 0 Expresemos todo en Sec(x)2Tg²(x) + 3Sec(x) = 0 ⇒ 2[Sec²(x) - 1] + 3Sec(x) = 0 ⇒ 2Sec²(x) + 3Sec(x) - 2 = 0Vamos a seguir el procedimiento en c.
A = 2 b = 3 c = - 2Sustituyendo en la fórmula <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20Sec%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B-%283%29%5Cpm%5Csqrt%7B%283%29%5E%7B2%7D-4%282%29%28-2%29%7D%7D%7B2%282%29%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20%3D%5Cfrac%7B-3%5Cpm%5Csqrt%7B25%7D%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B-3%5Cpm5%7D%7B4%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20" /> Por tanto Sec(x) = - 2 ∨ Sec(x) = 1 / 2 (imposible)La raíz es : x = 120° (también cumple x = 240°)i.
2√3 Cos²(x) = Sen(x) Expresemos todo en Sen(x)2√3 Cos²(x) = Sen(x) ⇒ 2√3 [1 - Sen²(x)] = Sen(x) ⇒ 2√3Sen²(x) + Sen(x) - 2√3 = 0Vamos a seguir el procedimiento en c.
A = 2√3 b = 1 c = - 2√3Sustituyendo en la fórmula <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20Sen%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B-%281%29%5Cpm%5Csqrt%7B%281%29%5E%7B2%7D-4%282%5Csqrt%7B3%7D%29%28-2%5Csqrt%7B3%7D%29%7D%7D%7B2%282%5Csqrt%7B3%7D%29%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%7B49%7D%7D%7B4%5Csqrt%7B3%7D%7D%3D%20%5Cfrac%7B-1%5Cpm7%7D%7B4%5Csqrt%7B3%7D%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20" /> Por tanto Sen(x) = √3 / 2 ∨ Sen(x) = - 2 / √3 (imposible)La raíz es : x = 60° (también cumple x = 120°).