Regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones?

Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación :

El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [a, b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.

En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas.

La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p / q es una raíz racional de la ecuación de coeficientes enteros : \ begin{eqnarray * }a_{0} + a_{1}x + a_{2}x ^ {2} + \ dots + a_{n}x ^ {n} = 0 & (a_{i} \ in \ mathcal{Z}) \ end{eqnarray * }

entonces el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.

Ejemplo : Pretendemos calcular las raíces racionales de la ecuación :

3x3 + 3x2 - x - 1 = 0

Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y / 3 : \ begin{displaymath}3 \ frac{y ^ {3}}{3 ^ {3}} + 3 \ frac{y ^ {2}}{3 ^ {2}} - \ frac{y}{3} - 1 = 0 \ end{displaymath}

y después multiplicamos por 32 :

y3 + 3y2 - 3y - 9 = 0

con lo que los candidatos a raíz del polinomio son : \ begin{eqnarray * }y = 9 ; & y = - 9 ; \ \

y = 3 ; & y = - 3 ; \ \

y = 1 ; & y = - 1 \ end{eqnarray * }

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real es y = - 3, es decir, $x = \ frac{ - 3}{3} = - 1$ (que es además la única raíz racional de la ecuación).

Lógicamente, este método es muy poco potente, por lo que sólo nos puede servir a modo de orientación.