Ecuaciones Cuadráticas y Aplicaciones
Problemas pagina 80
Resuelve :
7.
)x2− 7x + 12 = 0
Factorizando : x2− 7x + 12 = 0(x− 4)(x− 3) = 0(x− 4) = 0, (x− 3) = 0x = 4, x = 3.
15. )2x2 + 5x + 3 = 0
Factorizando : 2x2 + 5x + 3 = 0(2x + 3)(x + 1) = 0(2x + 3) = 0, (x + 1) = 02x = −3, x = −1x = −3 / 2, x = −1
24.
)x2− 4x + 2 = 0
No factoriza, usar fórmula cuadrática : a = 1, b = −4 yc = 2.
X = (−b + \ − raizcuadrada(b2– 4ac)) / 2a
x = (−(−4) + \ − raizcuadrada[(−4)2– 4(1)(2)]) / 2(1)
x = (4 + \ − raizcuadrada(16 – 8)) / 2
x = (4 + \ − raizcuadrada(8)) / 2
25.
)2x2 + 3x− 4 = 0No factoriza, usar fórmula cuadrática : a = 2, b = 3 yc = −4.
X = −b + \ − raizcuadrada(b2– 4ac) / 2a
x = (−(3) + \ − raizcuadrada[(3)2– 4(2)(−4)]) / 2(2)
x = (−3 + \ − raizcuadrada(9 + 32)) / 2
x = (3 + \ − raizcuadrada(41)) / 2
Problemas pagina 87
Resuelve :
(Interés compuesto)15.
Dentro de dos años, la compañía XYZ requerirá $1, 102, 500 para retirar algunos de sus bonos.
¿A qué tasa de interés compuesta anualmente deben invertirse $1, 000, 000 durante el periodo de dos años para recibir la cantidad requerida para retirar los bonos?
Solución :
SeaRla tasa de interés.
A los dos años el valor de la inversión será
Valor Total a los dos años = P(1 + R)2, dondePes la cantidad inicial invertida.
Sustituimos los valores y resolvemos paraR,
1, 102, 500 = 1, 000, 000(1 + R)2(1, 102, 500) / (1, 000, 000) = (1, 000, 000(1 + R)2) / 1, 000, 0001.
1025 = (1 + R)2raizcuadrada(1.
1025) = raizcuadrada(1 + R)2raizcuadrada(1.
1025) = raizcuadrada(1 + R)2 + / − 1.
05 = 1 + R + / − 1.
05 − 1 = RR = −1 + / − 1.
05R = −1 − 1.
05, −1 + 1.
05R = −2.
05, 05
Se descartada la respuesta negativa.
R = 0.
05
R = 5%
(Renta de apartamentos)16.
Royal Realty ha construido una unidad nueva de 60 apartamentos.
Del pasado se sabe que si ellos cobran una renta mensual de $150 por apartamento, todas las viviendas se ocuparán, pero por cada incremento de $3 en la renta, es muy probable que un apartamento permanezca vacante.
¿Cuál debe ser la renta que se debe cobrar para generar los mismos $9, 000 de ingreso total que se obtendrían con una renta de $150 y al mismo tiempo dejar algunos apartamentos vacantes?
Solución :
Seanel número de incrementos de $3.
Por lo tanto, $3nes el aumento en la renta por apartamento.
En consecuencia, ($150 + $3n) es la renta por apartamento, na su vez el número de apartamentos no rentados.
Así que, (60 −n) es número de apartamentos rentados.
El ingreso de la renta esta dado por
Ingreso por la renta = (Renta por apartamentos) * (Numero de apartamentos rentados)
Sustituimos los valores y resolvemos paran
9, 000 = (150 + 3n)(60 −n)9, 000 = (150)(60) + (150)(−n) + (3n)(60) + (3n)(−n)9, 000 = 9, 000 −150n + 180n− 3n29, 000 − 9, 000 = 30n− 3n20 = 30n− 3n230n− 3n2 = 03n(10 −n) = 03n = 0, (10 −n) = 0n = 0, n = 10.
Royal Realty deberá cobrar ($150 + $3(10)) = $180 para obtener un ingreso de $9, 000 y a su vez dejar 10 apartamentos vacantes.
(Inversión)21.
Una suma de $100 se invirtió a un interés durante un año ; después, junto con los intereses generados, se invierte durante un segundo año al doble de la tasa de interés.
Si la suma total lograda es $112.
32, ¿cuáles son las dos tasas de interés?
Solución :
SeaRla tasa de interés.
La tasa de interés del segundo año será 2R.
A los dos años el valor de la inversión será
Valor Total a los dos años = P(1 + R) (1 + 2R), dondePes la cantidad inicial invertida.
Sustituimos los valores y resolvemos paraR,
112.
32 = 100(1 + R) (1 + 2R)112.
32 / 100 = 100(1 + R) (1 + 2R) / 1001.
1232 = (1 + R) (1 + 2R)1.
1232 = (1)(1) + (1)(2R) + (R)(1) + (R)(2R)1.
1232 = 1 + 2R + R + 2R21.
1232 = 1 + 3R + 2R22R2 + 3R + 1 = 1.
12322R2 + 3R + 1 − 1.
1232 = 02R2 + 3R− 0.
1232 = 0
Utilizamos la fórmula cuadrática
a = 2, b = 3 yc = −0.
1232.
R = (−b + \ − raizcuadrada(b2– 4ac)) / 2a
R = (−(3) + \ − raizcuadrada[(3)2– 4(2)( −0.
1232)]) / 2(2)
R = (−3 + \ − raizcuadrada(9 + 0.
9856)) / 4
R = (−3 + \ − raizcuadrada(9.
9856)) / 4
R = (−3 + \ − 3.
16) / 4
R = (−3 − 3.
16) / 4, (−3 + 3.
16) / 4
Descartamos la solución negativa
R = (−3 + 3.
16) / 4
R = (0.
16) / 4
R = 0.
04
R = 4%
Las tasas de interés son 4% y 8% respectivamente.