Quien me puede ayudar con este problema de optimizacion Cual es la distancia Minima que existe entre el Punte [5, 1] y la Parabola y = - x2.
En resumen
La distancia mínima entre el punto (5, 1) y la parábola y = - x² es d = 2√5 unidades de longitud. Explicación paso a paso : La función objetivo es la distancia entre el punto (5, 1) y el punto de coordenadas (x, y) perteneciente a la parábola y = - x² más cercano a el.
La distancia mínima entre el punto (5, 1) y la parábola y = - x² es d = 2√5 unidades de longitud.
Explicación paso a paso : La función objetivo es la distancia entre el punto (5, 1) y el punto de coordenadas (x, y) perteneciente a la parábola y = - x² más cercano a el.
La función objetivo viene dada por la fórmula de distancia entre puntos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%5Csqrt%7B%28x-5%29%5E%7B2%7D%2B%28y-1%29%5E%7B2%7D%7D" />Por conveniencia, vamos a minimizar la suma de cuadrados prescindiendo de la raíz<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20D%3D%28x-5%29%5E%7B2%7D%2B%28y-1%29%5E%7B2%7D" />Lo conveniente es que D este expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la ecuación de la parábola (ecuación auxiliar) para sustituir y : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20D%3D%28x-5%29%5E%7B2%7D%2B%28-x%5E2-1%29%5E%7B2%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cmathbf%20%7BD%3Dx%5E%7B4%7D%2B3x%5E2-10x%2B26%7D%20" />Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función.
Esto es derivar la función e igualar a cero.
Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de D.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20D%27%3D4x%5E%7B3%7D%2B6x-10%20" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20D%27%3D0%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%204x%5E%7B3%7D%2B6x-10%3D0%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20x%3D1%20" />Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20D%27%27%3D12x%5E%7B2%7D%2B6%20" />Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20D%27%27_%7B%281%29%7D%3D12%281%29%5E%7B2%7D%2B6%3D18%3E0%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20" />0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad " alt = " D''_{(1)} = 12(1) ^ {2} + 6 = 18>0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad " align = "absmiddle" class = "latex - formula"> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cmathbf%20%7Bx%3D1%20%5Cqquad%20%5Cwedge%20%5Cqquad%20y%3D-1%7D%20" /> es un mínimo de la función D.
Ahora vamos a calcular la distancia mínima : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20d%3D%5Csqrt%7B%28x-5%29%5E%7B2%7D%2B%28y-1%29%5E%7B2%7D%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20d%3D%5Csqrt%7B%281-5%29%5E%7B2%7D%2B%28-1-1%29%5E%7B2%7D%7D%20%5Cqquad%20%5CRightarrow%20%5Cqquad%20" />[img = 10].
Hallar la distancia mínima d = ? Del punto P = ( 4 , 2) a la parábola y² = 8x Para resolver el ejercicio se toma un punto ( x , y ) perteneciente a la parábola y² = 8x y se plantea la formula de distancia entre dos…
Te adjunto pdf con problemas resueltos.
Respuesta : la calidadExplicación paso a paso :
Una parábola tiene por ecuación general. (y - k) = (x - h)², con vértice (h, k)Se encuentra acompañada de un signo positivo, la parábola abre hacia arriba. Es decir, y = x². Tiene un mínimoSe encuentra acompañada de un…