Que propiedad cumplen los numeros enteros?

Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo.

Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones).

Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.

Los números enteros pueden ser sumados y / o restados, multiplicados y comparados.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, { \ displaystyle ( \ mathbb {Z} , + , \ cdot )} { \ displaystyle ( \ mathbb {Z} , + , \ cdot )} constituye un anillo conmutativo y unitario.

Por otro lado, { \ displaystyle ( \ mathbb {Z} , \ leq )} { \ displaystyle ( \ mathbb {Z} , \ leq )}, donde { \ displaystyle \ leq } \ leq es el orden usual sobre { \ displaystyle \ mathbb {Z} } \ mathbb{Z}, es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior : los enteros no tienen principio ni fin.

El conjunto de los números enteros se representa mediante { \ displaystyle \ mathbb {Z} } \ mathbb{Z} (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).

Construcción formal de los enteros a partir de los naturales

Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales.

Por ejemplo { \ displaystyle - 3 = 5 - 8} { \ displaystyle - 3 = 5 - 8}, de donde puede asociarse el número { \ displaystyle - 3} { \ displaystyle - 3} con el par ordenado { \ displaystyle (5, 8)} { \ displaystyle (5, 8)} de números naturales.

Sin embargo, debido a que { \ displaystyle (4, 7)} { \ displaystyle (4, 7)} y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado { \ displaystyle - 3} { \ displaystyle - 3} al restar, no puede decirse simplemente que { \ displaystyle - 3 = (5, 8)} { \ displaystyle - 3 = (5, 8)}.

Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado { \ displaystyle - 3} { \ displaystyle - 3} al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia.

Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados { \ displaystyle (a, b)} { \ displaystyle (a, b)} y { \ displaystyle (c, d)} { \ displaystyle (c, d)} puedan ser asociados al mismo número entero si :

(1) { \ displaystyle ~a - b = c - d} { \ displaystyle ~a - b = c - d}.

El único problema es que la ecuación (1) no está definida en { \ displaystyle \ mathbb {N} } \ mathbb{N} cuando { \ displaystyle a.