Que es el teorema del residuo?

Elteorema de los residuoses consecuencia directa delTeorema integral de Cauchyy forma parte fundamental de la teoría matemática deanálisis complejo.

EnunciadoSea{ \ displaystyle f \ colon D \ subset \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} }unafunciónanalítica en un dominio simplemente conexo{ \ displaystyle D}, excepto en un número finito de puntos{ \ displaystyle z_{k}}que constituyensingularidadesaisladas de{ \ displaystyle f}.

Sea{ \ displaystyle C}una curva en{ \ displaystyle D}, simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de{ \ displaystyle f}.

Entonces se tiene : { \ displaystyle \ oint _{C}f(z)dz = 2 \ pi i \ sum _{k} \ operatorname {Res} (f, z_{k})}

donde{ \ displaystyle \ operatorname {Res} (f, z_{k})}es elResiduode la función{ \ displaystyle f}en el punto singular{ \ displaystyle z_{k}}.

DemostraciónSea{ \ displaystyle f}holomorfausando lasecuaciones de Cauchy - Riemannla forma diferencial{ \ displaystyle f(z) \ , dz}es cerrada.

Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe que la integral{ \ displaystyle \ int _{C}f(z) \ , dz}es igual a{ \ displaystyle \ int _{C'}f(z) \ , dz}siempre que{ \ displaystyle C'}sea una curvahomotópicacon{ \ displaystyle C}.

En específico, se puede considerar una curva tipo{ \ displaystyle C'}la cual tiene una rotación alrededor de los puntos{ \ displaystyle a_{j}}sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva{ \ displaystyle C'}sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo se necesitan sumar las integrales de{ \ displaystyle f}alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea{ \ displaystyle z = a_{j} + \ rho e ^ {i \ theta }}parametrización de la curva alrededor del punto{ \ displaystyle a_{j}}, entonces se tiene{ \ displaystyle dz = \ rho ie ^ {i \ theta } \ , d \ theta }, por lo tanto : { \ displaystyle \ int _{C}f(z) \ , dz = \ int _{C'}f(z) \ , dz = \ sum _{j} \ eta (C, a_{j}) \ int _{ \ partial B_{ \ rho }(a_{j})}f(z) \ , dz = \ sum _{j} \ eta (C, a_{j}) \ int _{0} ^ {2 \ pi }f(a_{j} + \ rho e ^ {i \ theta }) \ rho ie ^ {i \ theta } \ , d \ theta }donde{ \ displaystyle \ rho >0}, escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas{ \ displaystyle B_{ \ rho }(a_{j})}están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio{ \ displaystyle U}.

Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda{ \ displaystyle j} : { \ displaystyle i \ int _{0} ^ {2 \ pi }f(a_{j} + \ rho e ^ {i \ theta }) \ rho e ^ {i \ theta } \ , d \ theta = 2 \ pi i \ mathrm {Res} (f, a_{j}).

}Sea{ \ displaystyle j}fija y aplíquese laserie de Laurentpara{ \ displaystyle f}en{ \ displaystyle a_{j} : }{ \ displaystyle f(z) = \ sum _{k \ in \ mathbb {Z} }c_{k}(z - a_{j}) ^ {k}}de tal forma que{ \ displaystyle { \ rm {{Res}(f, a_{j}) = c_{ - 1}}}}, dondec - 1, es el coeficiente de{ \ displaystyle {1 \ over (z - a_{j})}}en la serie de Laurent.

Entonces tenemos : { \ displaystyle \ int _{0} ^ {2 \ pi }f(a_{j} + \ rho e ^ {i \ theta }) \ rho e ^ {i \ theta } \ , d \ theta = \ sum _{k} \ int _{0} ^ {2 \ pi }c_{k}( \ rho e ^ {i \ theta }) ^ {k} \ rho e ^ {i \ theta } \ , d \ theta = \ rho ^ {k + 1} \ sum _{k}c_{k} \ int _{0} ^ {2 \ pi }e ^ {i(k + 1) \ theta } \ , d \ theta .

}Obsérvese que si{ \ displaystyle k = - 1}, se tiene : { \ displaystyle \ rho ^ {k + 1}c_{k} \ int _{0} ^ {2 \ pi }e ^ {i(k + 1) \ theta } \ , d \ theta = c_{ - 1} \ int _{0} ^ {2 \ pi }d \ theta = 2 \ pi c_{ - 1} = 2 \ pi \ , \ mathrm {Res} (f, a_{j})}mientras que para{ \ displaystyle k \ neq - 1}se tiene que los términos de la suma se anulan, debido a que : { \ displaystyle \ int _{0} ^ {2 \ pi }e ^ {i(k + 1) \ theta } \ , d \ theta = \ left[{ \ frac {e ^ {i(k + 1) \ theta }}{i(k + 1)}} \ right]_{0} ^ {2 \ pi } = 0.

}.